石志群：基于“大背景”的章单元建构框架及实施建议

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原文刊于《中学数学月刊》2020.1（1-4）

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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石志群，江苏姜堰人，1983年7月毕业于扬州师范学院（今扬州大学），从事高中数学教学与研究37年．省特级教师，正高级教师．曾获全国优秀教师、江苏省突贡专家、江苏省红杉树园丁奖、泰州市名教师等荣誉称号。在省级以上刊物发表文章二百余篇，其中33篇被中国人民大学书报资料中心刊物《高中数学教与学》全文转载．是苏教版高中课程标准教科书《数学》的副主编、分册主编。

基于“大背景”的章单元建构框架及实施建议

——以“三角函数”一章内容为例

石志群（江苏省泰州市教研室  225300）

2014年，教育部出台的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，首次提出了“核心素养体系”这个概念，并且将核心素养定义为“适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”．2016年，教育部正式发布《中国学生发展核心素养》，2017版普通高中各学科的课程标准又相继提出了学科核心素养的框架，提升学生核心素养成为教学改革的新的目标要求．在教育部组织的几次关于教材编写的培训会上，相关专家提出了基于核心素养的教材编写的基本要求，其中非常重要的一条是“大背景”，即用真实的背景性材料，让学生经历完整的提出问题、解决问题的过程，在研究问题的过程中建构学科知识体系．他们认为，只有这样，才能真正地发展学生的核心素养．下面是关于苏教版普通高中课程标准教科书（数学）在这方面的探索和思考，一家之言，抛砖引玉．

1    “大背景”释意

每一章的“大背景”是蕴含了本章核心思想、数学本质或思维起点的，具有较强生成性的现实材料、数学材料（如复数一章）或其他学科的科学材料（如平面向量一章），通过对这些材料的研究，可以揭示或提炼出本章的主问题或核心问题（大问题）．这个或这些主问题对本章内容起统领作用：或是本章研究的逻辑起点，由主问题进行学科的逻辑发展，就生成了全章的知识结构；或是本章研究的本质问题，通过对主问题的不同层面的研究（并列型）或从简单到复杂，依据数学研究的一般逻辑顺序和方法（递进型），建构本章知识体系．简单地说，所谓“大背景”，就是一章内容的“根”和“源”，章的内容的展开就是“大背景”的问题解决的过程．

一章中各节均有节首语，节首语是根据章首语及章首语中提出的本章主问题，以及本章已经研究过的内容，自然地生成的背景材料，并由此背景材料自然地提出本节所要研究的主问题（中问题）．节的主问题是服务于章的“主问题”的，因此也就蕴含于“大背景”之中，其研究内容是围绕“大背景”的某个方面（侧面）而进行的．各小节的“中问题”就组成了本章问题解决的“问题链”．

无论是章问题，还是节问题，都确保既体现本原性原则：在逻辑起点处提问题，提本章和本节最本质的问题，揭示本章内容的核心观念、核心思想；又遵循适宜性原则：起点低、入口浅，但寓意深，让学生能理解、能操作、能探究．

有时一节的主问题就是一节课的初始问题，有时在一节的问题解决过程中，又会形成一些新的“小问题”，也就是解决“节”的主题的问题链，从而形成了每一堂课的“主问题”．这些问题链有时是显性的，教材中就展现了，有些需要根据数学的逻辑关系和学生的认知规律进行挖掘，这就是教师教学设计的空间和学生数学探究的空间，这对培养学生的数学能力，发展学生的数学素养是必要的．

在节习题、章复习题和阅读、问题与探究等栏目中还设计了一些超过课程标准要求，但与本章内容相关、与章“大背景”相关的进阶性问题、课题或欣赏性材料，目的是为学生打开通向高等数学的一扇窗，在激发对数学学科的持续的兴趣的同时，让学生感受到数学的美，增强对初等数学内容价值、本质的理解．比如，在“三角函数”一章的复习题第20题是运用泰勒展开的级数说明计算器计算函数值（如sin x, cos x）的原理，对有兴趣的同学来说，本题在让学生了解弧度制的优势性的同时，能够感受到极限的思想、逼近的观念、函数有理化思想等．

从上文可以看出，基于“大背景”的章单元建构框架其实是一种问题解决的建构型教学范式，是在解决由“大背景”产生的“大问题”的过程中展开数学的研究过程，数学建构的过程，也就是数学学习的过程．

综上所述，基于“大背景”的数学教学结构如图1所示.

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2    “三角函数”一章的“大背景”

三角函数是刻画周期现象的数学模型，而周期现象是由周期运动引起的，因此，应该选择某种周期运动作为研究的原型．当然，这种原型应该是简单的、基础的，既便于研究，又可以作为刻画复杂的周期运动的基础．

为此，有两种选择，一种是单位圆上运动着的点，另一种是半径为r的圆上运动着的点．前者是后者的特例情形．考虑了“三角恒等变换”中的基本公式“加法公式”的推导也应该放到这个“大背景”之下进行，而“复合”运动时几个圆的半径可能不同（参见苏教版普通高中课程标准教科书（数学）必修二第10章“三角恒等变换”），我们决定以“半径为r的圆上运动的点”作为本章的“大背景”

三角函数都是同一个角a的函数，它们之间一定有关系：研究同角三角函数的关系；

三角函数刻画了圆周上点的运动，圆的几何性质在三角函数的代数形式中一定有所体现：研究三角函数的诱导公式；

有了刻画周期现象的数学模型，就应该用其对周期现象的规律进行研究：探讨三角函数的图象和性质；

有了三角函数的理论体系，就可以研究三角函数是如何刻画周期现象这个初始问题：三角函数的应用．

以上是本章的内容框架．对“三角恒等变换”一章，我们亦以本章的“大背景”为起点，运用两个圆的复合运动，形成这一章的大背景及大问题．

这样的学习过程就是数学研究的完整过程，是数学建构的真实过程，数学的知识是具有联系性、体系性、整体性和结构性的，不是孤立的知识点的组合．这样的学习过程让学生可以充分地认识数学的本质，学会数学的研究方法，从系统上理解数学、掌握数学．这样的过程无疑会对学生的数学核心素养的发展起到比较充分的促进作用．

4  基于大背景设计每节课的教学过程

根据编写的理念和方法，使用苏教版教材时，要充分地理解编写意图，特别是要透彻地理解各章的大背景、大问题，基于大背景、大问题进行章节的整体设计．要理解本章“大问题”与各小节的“中问题”之间的逻辑联系，打通“问题链”的逻辑关联，设计本章的教学整体框架．

在把握章的整体同时，还要理解每小节内容的编写意图，特别是节首语中的“中问题”，这是本节的主问题，是章问题的重要支点，教学设计与实施都要围绕这个支点充分地展开．否则，缺少了每一节的支点的支撑，章的设计意图、教学目标就无法达成．

下面以“弧度制”一节的教学为例加以说明.

从教学内容的数学逻辑关系看，建构“弧度制”的目的是使角的度量“数量化”，或者说，使得角的度量值与弧长、半径、弦长一样，从60进位制变为10进位，实现用“实数”来刻画角的大小的目的。而对“r，l与α之间的关系”审美追求（追求简单、追求和谐与统一）正是实现上述目的的观念基础。

下面是教学设计的主体部分（某此内容简略表述）．

·问题情境

师：从章首语可知，大千世界存在大量的周期现象，而周期现象是由周期运动决定的，为了建构刻画周期现象的数学模型，我们选择了周期运动中最简单的原型：圆周上一点的运动．为此我们分别用(r,a), (r,l)（a, l, r分别为圆心角的大小、弧长、半径）及(x,y)来刻画圆周上点的位置（见章首语中图），并提出本章初始问题：

a, l,r, x, y之间具有怎样的关系？

今天我们先来考察r, l与a之间具有怎样的关系？（教师边叙述边板书，图3）

通过图4，引导学生认识到：角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角．

（3）建构并巩固

1）板书定义；2）练习：①半径为2 的圆，弧长为4时的角的大小？长度为3时的角的大小？长度为π时的角的大小？②半径为1的圆（单位圆），弧长为3时角的大小？3）互化．

师：现在我们有了两种度量角的制度：角度制和弧度制，这两个度量制之间的关系如何呢？比如，30°是多少弧度呢？（学生独立完成）

·回顾反思

研究思路（研究过程的回顾），数学结论（所得到的数学结果的总结），数学观念（运用的数学的价值观念、思想方法的提炼）．

·数学应用

弧度制下的弧长公式、扇形面积公式．对扇形面积公式进行两种度量制的比较，并将扇形面积公式与三角面积公式进行类比，让学生感受弧度制的优势．

·布置作业（略）

本节的主问题是“r, l与a之间具有怎样的关系？”，因此，就要围绕这个主问题展开探究性思维活动．本设计对所得到的关系式进行变形，从不同的结构形式发现不同的关系（代数式几何意义的解释），为即将进行的数学建构建立逻辑依据和审美基础．

从关系式的审美要求及不同量的进位制的差异，运用数学的理性精神、审美追求，提出建立新的角的度量制，以简化关系式、统一进位制的要求，让学生大胆假设，自主建构，使得提出建立新的角的度量制的想法成为逻辑的必然，也为确定这个度量制的“单位”提供思维的支点．也就是说，知识生成的思维过程是基于逻辑的、自然的，不是教师或教材强加给学生的，教学流程顺其自然、水到渠成．

建立了弧度制后，就有必要反过来思考，新的度量制是否达到了我们事前提出的要求？通过单位圆让学生直观地认识弧度制的实质，不仅是必要的，而且对学生思维的严密性、严谨性和数学研究的良好思维习惯：反思的习惯都有非常积极的意义．

有了弧度制后，就有了两种度量角的“制度”了，一个自然的问题：它们之间具有怎样的关系？这就成为本节课的问题链中第二个重要环节．

最后，通过扇形的面积公式的推导让学生感受到弧度制的优势：两种角度度量制下的公式的比较，让学生更真切地体会到了弧度制的先进性．事实上，在后续的学习中，这种优势、先进性还会得到更加充分的体现（章复习题中已有体现）．

5    基于“大背景”的教材使用和数学教学的建议

综上所述，对苏教版高中数学教科书的使用及基于“大背景”的章单元建构下的数学教学提出建议：

一是结合教材，特别是章首语，理解一章内容的数学本质、核心思想，了解其现实背景、理论渊源及其数学发展的真实过程，理解数学家们对该内容研究的思维起点、数学思想，做到在数学上理解到位，关键之处把握准确．如三角函数是刻画周期现象的数学模型，现实世界中存在大量周期现象，欧拉就是通过圆周上点的运动的研究，建立三角函数概念的．这里的三角函数与他以前的三角学中的内容是完全不同的，因此，无论从数学的逻辑，还是从认知的逻辑的角度看，我们都不可能从推广的视角引进任意角的三角函数．本章教学要抓住一个关键：通过对章问题的不同层面的研究，建构刻画周期现象的数学模型，并研究该模型的性质和应用．

二是通过教材，理清本章内容的逻辑顺序、内在关联，形成全章的教学主线，清晰明了地呈现相关教学内容，让学生准确把握全章知识结构．如“三角函数”一章的各小节内容都是从章问题自然派生出来的，是环环相扣的一个整体，它始终贯穿一条主线：圆上一点运动的规律的刻画．从这个角度看，由于章问题的核心意义已经确定，沿着正常的思路，研究的流程、内容、方法也就基本确定了，学生完全可能根据所要研究的章问题，按数学研究的一般方法、程序和基本套路，确定接下来要研究的子问题．即使刚开始时学生的能力还达不到这样的要求，但在长期的、常态化的、每个章节都在进行的固化的学习进程中，这种能力是一定能得到提升的．

三是要使小节内容与章内容的内在关系得到明确，只要这个关系理顺了，就能设计出基于大背景下的章主题和全章整体框架的本小节的教学过程．因为整个章、节教学，包括每一节课的教学的思维导图（问题链）都是基于章的“大背景”，逐层地进行的问题解决的过程，这样的过程是有条理的、逐步的逻辑过程．如“任意角”一节是由章问题中的圆上的点“周而复始”如何刻画而引起的，“弧

四是仍然要重视每个教学环节的细节处理技术，让教学难点得到克服，以促进学生的深刻理解．跟传统的数学教学一样，在问题解决、数学建构的过程中总是存在一些认知难点的，尤其是这种以探究式为主的学习方式，可能遇到的困难要更多一些，因此，设计必要的辅助性、阶梯式的子问题（脚手架）就非常必要．而这种问题的启发功能既降低了难度，也指导了方法，让学生学会分解问题、简化问题、转化问题的数学技术，提高解决问题的技能．如案例中对r, l与a之间的关系关系式的变式理解、通过实例对弧度制下角的集合与实数集的对应关系的理解等．

参考文献

[1] 单墫，李善良．普通高中课程标准教科书•数学（样书）[M]．南京：江苏教育出版社，2019．

[2] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017版）[M]．北京：人民教育出版社，2018．