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矩阵秩的公式
设分别为的矩阵,证明.
解答:
方法一:设为的极大线性无关组,有r个向量; 为的极大线性无关组, 有个向量. 由极大线性无关组的性质可知与等价,与等价. 且. 现在有矩阵, 其秩为矩阵的极大线性无关组的向量个数. 而由前面的分析可知, 如果与线性无关, 的极大线性无关组为, 此时. 若与线性相关,则线性无关的向量个数肯定小于, 即.
方法二:将矩阵中矩阵均按列向量分块,易知矩阵中的每一个列向量均可以被的极大线性无关列向量组和的极大线性无关列向量组中的向量线性表出,且由和的列向量组成的并集的列向量组秩不大于,秩的总和,又若某线性无关的向量组可被其他向量组表出,其秩相比另一向量组小,于是得证.
方法三:把矩阵转置,然后用初等行变换化分别将化为行阶梯形矩阵,分别记为,令的非零行个数分别为,则非零行的个数不超过,于是.
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