万时凯——关于21世纪“最恐怖”的一道数学高考题的一些思考

【来源】许康华竞赛优学（许兴华数学/选编）

---

“21世纪最恐怖的一道高考题”解析（万时凯）

近期有公众号发布了一篇“21世纪最恐怖的一道高考题”的文章：

【附：参考文章链接】单墫教授解答2008年江西高考数学压轴难题

分析与解答: 第一问比较常规, 这里只讨论第(2)小问.

首先, 观察到函数中前两项的形式是一致的, 但最后一项形式不一致, 那么先对其做一个简单的变形: 

这里需要注意的是, 对于这两项进行放缩的时候, 应该将最后一项中的z先视为常数, 即xy为常数, 所以对含x + y的部分进行放缩.

这个关于t的函数其最大值并不好求, 故继续进行放缩. 注意到后一项的次数为二次, 故想到往第一项的平方去放缩, 从而将其变为一个二次函数. 

小结: 对于不等式的证明, 一般我们都会从分析其等号成立的条件下手, 因为通常只有符合该等号成立条件的常用不等式才能用到证明中. 本题就是考虑到“等号”成立的条件, 所以想到了进行局部放缩的办法, 找到突破口之后一点点将这个口子撕开, 从而解决问题.

文章中还出现了2009年江西高考的最后一道大题, 这里也一并给出笔者的解答过程. 

【分析与解答】 我们直接做第(2)问, 实际上第(2)问前半部分的方法即可求出第一问的通项.

注意到题目中给出的递推关系其等式两边的形式一样, 我们利用比例性质对两边同样的变形, 保持两边的一致性. 

【推荐阅读】

【投稿须知】公众号《许兴华数学》诚邀全国各地中小学数学教师、教研员和数学爱好者热情投稿！来稿时请注意以下五点：（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不会采用）。

（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本的Word打开时出现乱码）。另外，也接受少数著名教师的手写稿（手写稿必须清晰可读）。

（3）每篇文章请认真审查复核，防止错误发生，来稿文责自负。如有抄袭，则有可能被举报并受到有关著作版权部门的追责。
（4）投稿邮箱：[e-mail]；或加主编微信xuxinghua168投稿.

（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。