【教学研究】关于函数的奇偶性、对称性和周期性

  函数奇偶性  奇函数奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。奇函数的特点：1. 二个式子：2. 五个性质：常见的奇函数偶函数
偶函数定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。偶函数的特点：1. 二个式子2. 四个性质 常见的偶函数

函数奇偶性的运算法则

  函数对称性  函数对称性的最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需分析函数一侧的性质即可，从而得到整个函数的性质。主要体现在以下几点：(1) 函数的定义域关于对称轴或者对称中心对称；(2) 可利用对称性求得某些点的函数值；(3) 在作图时，只需要作出一侧的图像，另外一侧利用对称性即可画出；(4) 极值点关于对称轴或者对称中心对称；(5) 在轴对称的函数中，关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的；在中心对称的函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同。轴对称
函数轴对称的定义：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。轴对称常见的形式：备注：对结论①，如果a=0时，则f(x)关于x=0对称 ，则此时f(x)为偶函数下面只对结论③进行证明：从“数”的角度证明：

从“形”的角度证明：

中心对称

函数中心对称定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180°，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。中心对称常见的形式：

备注：对结论①，如果a=0时，则f(x)关于原点对称，则此时f(x)为奇函数

下面只对结论③进行证明：

从“数”的角度证明：

从“形”的角度证明：

函数对称性与奇偶性的关系

对结论①进行证明：从“数”的角度进行证明：备注：要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反
从“形”的角度进行证明：对结论②进行证明：
从“数”的角度进行证明：备注：要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等从“形”的角度进行证明：

  函数周期性  函数周期性的定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。备注：函数的周期性同样可以从“形”的角度理解，在f(x)的图像中，任意两点(x，f(x))和(x+T，f(x+T))，横坐标方向上距离相差T的两个点，它们的纵坐标方向等高，即函数的图像会重复出现，因此函数具有一定的周期性，且函数的周期为T。特别说明：(1) 周期函数的定义域一定是无限集(2) 由周期函数的定义可知，0不能作为函数的周期(3) 如果T是f(x)是它的一个周期，那么-T也是f(x)的周期，即周期可以为负值。(4) 如果T是f(x)是它的一个周期，那么nT也是f(x)的周期，即周期函数有无数个周期(5) 如果f(x)为周期函数，且所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期

(6) 周期函数f(x)不一定含有最小正周期，如常数函数，它的周期为任意实数

周期函数常见的形式：

对结论②进行证明：

对结论③进行证明：

对结论⑤进行证明：

对结论⑦进行证明：

函数周期性与对称性的关系

对结论①进行证明：

对结论③进行证明：

由于奇、偶函数同样具有对称性，因此根据上述结论还可得如下关系：

【来源】高中数学王晖，作者：王晖。

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