九下尖子生培优系列(74) ——反比例函数（7）
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【例题】如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数y=k/x（x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于___________．
（2）当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围.
【图文解析】
（1）由“正方形”—“边等、直角”可添加如下图示的辅助线：（并设OC’＝a）
不难得到A’(a，2a)，代入解析式y=2/x(x＞0），可得a=1(a=－1舍去)，因此正方形A′B′C′D′的边长等于=根号2×a＝根号2.
（2）由（1）可知：A′（1，2），B′（2，1），C′（1，0），D′（0，1），可得直线A′B′解析式为y=﹣x+3，直线C′D′解析式为y=﹣x+1．
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．
当A点（或B点）在直线C′D′上时，如下图示，由（1）可设A（m，2m），代入直线C’D’的解析式，得：2m=﹣m+1，解得：m=1/3.
此时点A的坐标为（1/3，2/3），
∴k=1/3×2/3＝2/9；
当点D在直线A′B′上时，如下图示，同样设D（0,m）代入直线A′B′解析式y=﹣x+3，得m=3，此时点A的坐标为（3，6），
∴k=3×6=18．
综上所述，当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为2/9＜k＜18．
【反思】充分利用数形结合思想：画出符合条件的不同情况下的图形，再利用点的坐标特征求出k的取值范围．
【练习】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k/x的图象和矩形ABCD在第二象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点C的坐标为（﹣2，4）．
（1）直接写出A、B、D三点的坐标；
（2）若将矩形只向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式和此时直线AC的解析式y=mx+n．并直接写出满足k/x<mx+n的x取值范围．
【上期答案】
【原题呈现】如图，已知双曲线y＝k/x(k>0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，求k的值．
所以AC＝0.5DE＝0.5AE＝0.5BE，得到AC＝1/3×BC，因此S△AOC＝1/3×S△BOC＝1，故k=S△AOC=1.
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