九下尖子生培优系列(75) ——反比例函数（8）

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【例题】已知：A（a，y₁）．B（2a，y₂）是反比例函数y＝k/x（k＞0）图象上的两点．

（1）比较y₁与y₂的大小关系；

（2）若A、B两点在一次函数y=4/3x+b第一象限的图象上（如图所示），分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S_△OAB=8，求a的值；

（3）在（2）的条件下，如果3m=﹣4x+24，3n=32/x，求使得m＞n的x的取值范围．

【图文解析】

（1）先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再根据函数的增减性及a的符号讨论y₁与y₂的大小；

      根据图象，不难得到：当a＞0时，y₁＞y₂，当a＜0时，y₁＜y₂；

（2）如下图示：

∵A（a，y₁）、B（2a，y₂）在反比例函数y=k/x（k＞0）的图象上，

∴AC=y₁=k/2a，BD=y₂=k/2a，∴y₁=2y₂．

又∵A（a，y₁）、B（2a，y₂）在一次函数y=﹣4/3a+b的图象上，

∴y₁=﹣4/3a+b，y₂=﹣8/3a+b，

∴﹣4/3a+b=2(﹣8/3a+b)，∴b=4a，

∵S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD，

又∵S_△AOC=S_△BOD，∴S_梯形ACDB=S_△AOB，

（3）由（2）得，一次函数的解析式为y=﹣4/3x+8，反比例函数的解析式为：y=32/(3x)，

A、B两点的横坐标分别为2、4，且m=﹣4/3x+8、n=32/(3x)，因此使得m＞n的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方时的横坐标的取值范围，如下图示，从图象可以看出2＜x＜4或x＜0．

【反思】综合运用了一次函数及反比例函数图象上点的坐标特点，用数形结合的方法求不等式的解集．

【练习】阅读以下材料并填空：

问题：当x满足什么条件时，x＞1/x？

解：设y₁=x，y₂=1/x则在同一直角坐标系中画出这两个函数的草图．

联立两个函数的解析式得：

∴两个图象的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1）

∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时，x＞1/x（1）上述解题过程用的数学思想方法是_____；

（2）根据上述解题过程，试猜想x＜1/x时，x的取值范围是____________；

（3）试根据上述解题方法，当x满足什么条件时，x²＞1/x．（要求画出草图）

【图文解析】（1）根据题意可知上述解题过程用的数学思想方法是数形结合法；

（2）直接根据（1）可知x＜﹣1或0＜x＜1；

（3）作反比例函数和二次函数y=x²的图象，如下图示。从图象知：当反比例函数的图象在抛物线的下方时，对应的x的范围即为所求． 

∴当x＞1或x＜0时，x²＞1/x．

【反思】再次体会数形结合思想在函数相关的试题中运用．

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【上期答案】

【原题呈现】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k/x的图象和矩形ABCD在第二象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点C的坐标为（﹣2，4）．

（1）直接写出A、B、D三点的坐标；

（2）若将矩形只向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式和此时直线AC的解析式y=mx+n．并直接写出满足k/x<mx+n的x取值范围．

（1）A（﹣6，6），B（﹣6，4），D（﹣2，6）．

（2）矩形ABCD向下平移后得到矩形，设平移距离为a，则B′（﹣6，4﹣a），D′（﹣2，6﹣a）∵点B′，点D′在y=k/x的图象上，

∴﹣6（4﹣a）=﹣2（6﹣a），解得a=3，

∴A′（﹣6，3），B′（﹣6，1），C′（﹣2，1），D′（﹣2，3），

将点B′（﹣6，1）代入y=k/x得：k=﹣6，

∴反比例函数的解析式为y=-6/x．

将A′（﹣6，3），C′（﹣2，1）点代入y=mx+n中,并解得：m=0.5,n=0.

所以所求的解析式为：y=0.5x.

      如下图示，满足k/x<mx+n的x取值范围即是-6/x<0.5x的取值范围，即：x<－2×根号3.

【反思】要注意数形结合思想在解题中的正确运用．

相关链接：

九下尖子生培优系列(70) ——反比例函数（3）

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