解直角三角形应用（3）——锐角三角函数（10）——尖子生之路[九下系列]
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解直角三角形应用（3）
——锐角三角函数（10）
【例1】如图，我国南海巡逻艇在A处执行任务时，发现在A处的北偏东30°方向有一岛屿C，在A处的北偏东75°方向、相距60海里的B处有一不明船只正以15海里/时的速度向B处西北方向的C 岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只谁先到达C岛？（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【解答】如图，过C作CH⊥AB于H，
由题意，可得
∠DAB=75°,∠DAC=30°,∠CBF=45°,
∴∠BAC=45°,∠BAE=∠ABF=15°,
∴∠ABC=60°，
设BH=x，则CH=AH=x，BC=2x，
∵AB=60，∴√3x+x=60，
解得x=30（√3﹣1），
∴AH=30（3﹣√3），
∴Rt△ACH中，
AC=√2AH=√2×30（3-√3）
=30√2（3-√3），
在Rt△BCH中，
BC=2BH=60（√3﹣1），
∴巡逻艇到达C岛的时间为30√2（3﹣√3）÷20≈2.7小时，
不明船只到达C岛的时间为
60（√3﹣1）÷15≈2.8小时，
∴巡逻艇先到达C岛．
【拓展】如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西轴向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
【解答】过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，
由题意,得：∠ABC=30°，∠FCD=45°，CD=CB=1000，
在Rt△BCE中，
CE=0.5BC=0.5×1000=500（米）.
在Rt△DCF中，DF＝…=500√2(米).
∵四边形AFCE是矩形，∴AF=CE，
∴AD=AF+FD=CE+FD
=（500+500√2）米，
∴拦截点D处到公路的距离是（500+500√2）米．
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【例2】如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．
（1）若BD=BC，证明：sin∠BCD=BD/AC．
（2）若AB=BC=4，AD+CD=6，求BD/AC的值．
（3）若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．
【解答】（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴四边形ABCD四点共圆，
∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，
∵∠BED=∠ABC=90°，
∴△BED∽△ABC，
∴BD/AC＝BE/AB
∴sin∠EAB=sin∠BCD；
（2）如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．
∵∠ABC=∠DBF=90°，
∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，
∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，
∴△DAB≌△CBF，
∴BD=BF，AD=CF，
∵∠DBF=90°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=√2DF/2，
∵AD+CD=6，
∴CF+CD=DF=6，
∴BD=3√2，AC=…＝4√2，
∴BD/AC＝…＝3/4．
（3）当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，
∴AM/BN＝BM/NC＝AB/BC＝6/8．
设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，
在Rt△BDM中，BD=…=10x，
∵BD=DC，∴10x=6x+8y，
∴x=2y，
在Rt△ABM中，AB=…=6√5y，
∴sin∠BCD=sin∠MAB=…＝2√5/5．
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