解直角三角形应用（2）——锐角三角函数（9）——尖子生之路[九下系列]
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解直角三角形应用（2）
——锐角三角函数（9）
【例1】市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米（EF=1米），背水坡AF的坡度i=1：1，如图所示，已知AB=3米，∠ABE=120°，求水坝原来的高度EC．
【解答】如图，作EC⊥BD于C，设BC=x，
∵∠ABE=120°，∴∠CBE=60°，
在Rt△BCE中，∵∠CBE=60°，
∴tan60°=CE/BC=√3，即CE=√3x，
∵背水坡AF的坡度i=1：1，
∴CF/AC=1，
∵AC=3+x，CF=1+√3x，
∴，解得x=√3+1，
∴BC=√3x=（3+√3）米，
答：略．
【拓展】如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=174米，DE=9米，BD=100米，α=32°，β=68°，求AC的高度．（最后结果保留整数）
（参考数据：sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62；sin68°≈0.93；cos68°≈0.37；tan68°≈2.48）
【解答】延长DE交AC于G，作DF⊥BC于F，EH⊥BC于H．
∵cos∠DBF=BF/BD，
∴BF=100×0.85=85，FH=DE=9，
∴EG=HC=174﹣85﹣9=80，
∵tan∠AEG=AG/EG，
∴AG=80×2.48=198.4，
∵sin∠DBF=DF/BD，
∴DF=100×0.53=53，
∴CG=53，
∴AC=AG+CG=198.4+53=251.4米．
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【例2】如图，一艘船在A处望见灯塔E在北偏东60°方向上，此船沿正东方向航行60海里后到达B处，在B处测得灯塔E在北偏东15°方向上．
（Ⅰ）求∠AEB的度数；
（Ⅱ）①求A处到灯塔E的距离AE；
②已知灯塔E周围40海里内有暗礁，问：此船继续向东方向航行，有无触礁危险？
【解答】
（Ⅰ）∠AEB=180°-30°-90°-15°=45°；
（Ⅱ）①作BM⊥AE，EH⊥AB，
垂足分别为M，H，
∵AB=60，∠MAB=30°，
∴BM=30，
AM=AB•cos∠MAB
=60×cos30°=30√3
∠MBE=90°﹣∠AEB
=90°﹣45°=45°=∠AEB，
∴EM=ME=30，
∴AE=30+30≈82（海里），
∴EH=15+15≈41（海里），
②EH=41＞40，
∴此船继续向正东方向航行，无触礁危险．
【拓展】一艘救生船在码头A接到小岛C处一艘渔船的求救信号，立即出发，沿北偏东67°方向航行10海里到达小岛C处，将人员撤离到位于码头A正东方向的码头B，测得小岛C位于码头B的北偏西53°方向，求码头A与码头B的距．
【参考数据：sin23°≈0.39，c0s23°≈092，tan23°≈0.42，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】
【解答】过点C作CD⊥AB于点D，
由题意，得：
∠BAC=23°，∠ABC=37°，AC=10，
在Rt△ADC中，
AD=ACcos23°=10×0.92=9.2，
∴CD=ACsin23°=10×0.39=3.9，
在Rt△BCD中，
BD=CD/ta23°＝5.2．
则AB=…=14.4，
答：码头A与码头B的距离14.4海里．
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