解直角三角形应用（1）——锐角三角函数（8）——尖子生之路[九下系列]

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解直角三角形应用（1）

——锐角三角函数（8）

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【例题】如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一电线杆AB，当太阳光与水平线成45°角时，测得该杆在斜坡上的影长BC为20m．求电线杆AB的高．

【解】过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D．

在Rt△BCD中，

BD=BC•sin∠BCD=20×sin30°=10，

CD＝BC×cos30°＝…＝10√3．

在Rt△ACD中，∵∠ACD=45°，

∴∠DAC=∠ACD=45°，

则AD＝CD＝10√3，

∴AD－BD＝…＝10√3－10．

即电线杆AB的高为10√3－10．

【拓展1】小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走6 米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°，已如A点离地面的高度AB=4米，∠BCA=30°，且B、C、D 三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．

【解答】（1）如图，设DE=x，

∵AB=DF=4，∠ACB=30°，∴AC=8，

∵∠ECD=60°，∴△ACE是直角三角形，

∵AF∥BD，∴∠CAF=30°，

∴∠CAE=60°，∠AEC=30°，

∴AE=16，∴Rt△AEF中，EF=8，

即x﹣4=8，解得x=12，

∴树DE的高度为12米；

（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM=BP=6．

由（1）知：

CD=0.5CE=…=4√3，BC=4√3，

∴PD=BP+BC+CD=…=6+8√3，

∵∠NDP=45°，且∠NPD=90°，

∴NP=PD=6+8√3，

∴NM=NP﹣MP=…=2+8√3，

∴食堂MN的高度为（2+8√3）米．

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【拓展2】如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：√3，求大楼AB的高度是多少？

【解答】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图：

则GH=DE=15米，EG=DH，

∵梯坎坡度i=1：√3，

∴BH：CH=1：√3，

设BH=x米，则CH=√3x米，

在Rt△BCH中，BC=12米，

由勾股定理，得

x²+（√3x）²=12²，

解得x=6，

∴BH=6米，CH=6√3米，

∴BG=GH﹣BH=15-6=9(米)，

EG=DH=…=6√3+20（米），

∵∠α=45°，

∴∠EAG=90°﹣45°=45°，

∴△AEG是等腰直角三角形，

∴AG=EG=6√3+20（米），

∴AB=AG+BG=…=29+6√3（米）．

所以大楼AB的高度大约是29+6√3米．

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