一元二次方程根与系数的关系——尖子生之路[中考复习系列]

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一元二次方程根与系数的关系

——中考复习系列

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【例1】设x₁、x₂是方程x²+4x﹣3=0的两个根，2x₁(x₂²+5x₂-3)+a=2，则a=　．

【分析】根据方程根的定义、根与系数的关系，可得x₂²+4x₂﹣3＝0，x₁+x_2＝-4，x₁•x₂＝-3，然后化简所求的代数式，代入求值即可．

【解】依题意，得

x₁+x₂=﹣4，x₁•x₂=﹣3，

x₂²+4x₂﹣3＝0，得x₂²+5x₂-3=x₂．

又∵2x₁（x₂²+5x₂﹣3）+a=2，

∴2x₁x₂+a=2×(-3)+a＝2，

解得a=8．

【拓展1】已知关于x的一元二次方程（x﹣m）²+6x=4m﹣3有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x₁与x₂，求代数式x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值．

【解】（1）由（x﹣m）²+6x=4m﹣3，

得x²+（6﹣2m）x+m²﹣4m+3=0．

∴△=（6﹣2m）²﹣4×1×（m²﹣4m+3）=﹣8m+24．

∵方程有实数根，

∴﹣8m+24≥0．解得 m≤3．

∴m的取值范围是m≤3．

（2）∵方程的两实根分别为x₁与x₂，由根与系数的关系，得

∴x₁+x₂=2m﹣6，x₁·x₂＝m²-4m+3，

∴x₁·x₂－x₁²﹣x₂²

=3x₁x₂-(x₁+x₂)²

=3（m²﹣4m+3）﹣（2m﹣6）²

=﹣m²+12m﹣27

=﹣（m﹣6）²+9

∵m≤3，且当m＜6时，

﹣（m﹣6）²+9的值随m的增大而增大，

∴当m=3时，x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的值最大，最大值为﹣（3﹣6）²+9=0．

∴x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值是0．

【拓展2】如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b²+c²=2a²+16a+14与bc=a²﹣4a﹣5，求a的取值范围．

【分析】由已知得（b+c）²=4（a+1）²，得到b+c=±2（a+1），又bc=a²﹣4a﹣5，则b，c可看作一元二次方程x²±2（a+1）x+a²﹣4a﹣5=0的两个不相等实数根，再利用根的判别式计算a的范围（但此时仅能保证b≠c），需注意再讨论b和c分别和a相等时舍去．

【解】∵b²+c²=2a²+16a+14，

bc=a²﹣4a﹣5，

∴（b+c）²=2a²+16a+14+2（a²﹣4a﹣5）=4a²+8a+4=4（a+1）²．

即有b+c=±2（a+1）．

又bc=a²﹣4a﹣5，

所以b，c可作为一元二次方程x²±2（a+1）x+a²﹣4a﹣5=0的两个不相等实数根，

所以△=4（a+1）²﹣4（a²﹣4a﹣5）=24a+24＞0，解得a＞﹣1．

若当a=b时，那么a也是上述方程的解，∴a²±2（a+1）a+a²﹣4a﹣5=0，

即4a²﹣2a﹣5=0或﹣6a﹣5=0，解得

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【拓展3】已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a²+b²+6c+3/2=0，求a、b、c的值．

【法一】由已知得a+b=1﹣2c①，

（a+b）²﹣2ab+6c+3/2=0②．

将①代入②，整理，得

4c²+2﹣2ab+5/2=0．

∴ab=2c²+c+5/4③．

由①、③可知，a、b是关于t的方程

t²﹣（1﹣2c）t+2c²+c+5/4=0④

的两个实数根．

∴△=（1﹣2c）²﹣4（2c²+c+5/4≥0，

即（c+1）²≤0．而（c+1）²≥0，

∴c+l=0，c=﹣1，

将c=﹣1代入④，得

t²﹣3t+9/4=0．∴t₁=t₂=3/2，

即a=b=3/2．∴a=b，c=﹣1．

【反思】法一构造一元二次方程利用“根与系数关系“．即实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t²﹣mt+n=0的两个实数根，得判别式△≥0．法二"换元"法．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=m/2+t，y=m/2﹣t．

【拓展4】已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a²+b²+c²=12，求证：a=b=c．

【法一】把a+b+c=6，代入a²+b²+c²=12，

得a²+b²+ c²＝12=4×6-12＝4（a+b+c）-12．

（a²-4a+4）+（b²-4a+4）+（c²-4a+4）=0．

(a-2)²+(b-2)²+(c-2)²=0．

∵(a-2)²≥0，(b-2)²≥0，(c-2)²≥0．

∴a-2=0，b-2=0，c-2=0．

∴a=b=c．

【法二】由已知得

a+b=6﹣c ①（a+b）²+c²﹣2ab=12 ②

将①代入②得（6﹣c）²+c²﹣2ab=12，∴ab=c²﹣6c+12 ③

由①③可知:a、b是关于t的方程t²﹣（6﹣c）t+c²﹣6c+12=0④的两个实数根．

∴△=（6﹣c）²﹣4（c²﹣6c+12）≥0，

化简得(c-2)²≤0，而(c-2)²≥0，∴c=2．

将c=2代入④，解得t₁=t₂=2．

∴a=b=2，∴a=b=c．

【拓展5】已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c=3，方程①x²+ax+1=0和②x²+bx+c=0有一个相同的实根，方程③x²+x+a=0和④x²+cx+b=0也有一个相同的实根．求a，b，c的值．

【分析】设x₁是方程①和方程②的一个相同的实根，x₂是方程③和方程④的一个相同的实根，根据方程根的定义可得关于x₁与x₂的解析式，进而求出a的值，再求出b、c的值．

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