纯（代）函数系列汇总（2）——中考备考

推荐阅读:

1.《图解精析中考数学压轴题》试读版(共56页）（一本类似于字典式的压轴题解析工具书，分类具体细致（含知识点详细目录），查找题型如同查字典；一本画给你看的书，有图有真相，思路方法自然生成;一本厚而实（内含294道压轴题）的课外数学读物;一本一线教师多年教学经历的结晶而成的实用且可操作性强的书;一本值得有理想和上进的师生拥有的集思路和方法于一体的书！…，感谢你关注本书！）

2.2019年中考数学答题需提前训练与适应的几点建议(同样适用于平时的期中期末月考等考试，及早适应及早信心足！）

强调:如果你想学几何画板，请关注本公众号,进入后,输入"1",即可获得本人录制的622分钟免费视频教程观看地址.

纯（代）函数系列汇总（2）

---

【试题5】已知二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点．

（1）求C₁的顶点坐标；

（2）将C₁向下平移若干个单位后，得抛物线C₂，如果C₂与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C₂的函数关系式，并求C₂与x轴的另一个交点坐标；

（3）若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂，求实数n的取值范围．

【解析】

（1）简析：由于二次函数y=x²+2x+m的图象C₁与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0或者△＝0，由此可以求m的值．

      因y=x²+2x+m=（x+1）²+m﹣1，对称轴为直线x=﹣1，且与x轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为0，C₁的顶点坐标为（﹣1，0）.

      或：由△=2²-4m=4－4m=0，解得m=1，…….

（2）因将抛物线上下平移，因此可设所求抛物线解析式为y=（x+1）²+k，同时平移后的抛物线经过点A（﹣3，0），直接代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；详细过程如下：
      设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，把A（﹣3，0）代入上式得（﹣3+1）²+k=0，得k=﹣4，

      ∴C₂为y=（x+1）²﹣4．

      ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且与x轴的一个交点为A（﹣3，0），

      ∴根据抛物线的对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）.

（3）解题思路：由于y=x²+2x+m=（x+1）²+m﹣1，所以抛物线的对称轴为直线x=﹣1，根据二次函数的图象的性质可知：当x≥﹣1时，y随x的增大而增大，因此应分n≥﹣1和n≤﹣1两种情况进行讨论，进一步得到n的取值．具体分析如下：

      因当x≥﹣1（对称轴的右边）时，y随x的增大而增大，所以：

      当n≥﹣1时，由“P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂”可知：因为y₁＞y₂，所以n＞2．

      当n＜﹣1时，因对称轴为x=－1，P（n，y₁）的对称点坐标为（﹣2﹣n，y₁），且﹣2﹣n＞﹣1.由“P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的两点，且y₁＞y₂”可知：因为y₁＞y₂，所以﹣2﹣n＞2，即n＜﹣4．

      综上所述：n＞2或n＜﹣4．

【反思】抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，结合抛物线平移的性质和增减性（单调性）进行分析是解题的关键．

---

---

【试题6】已知：关于x的方程mx²﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0．

（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；

（2）若二次函数y₁=mx²﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；

      ①求二次函数y₁的解析式；

      ②已知一次函数y₂=2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立；

（3）在（2）条件下，若二次函数y₃=ax²+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立，求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式．

【解析】

（1）题目并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：

  ①当m=0时，原方程可化为3x﹣3=0，即x=1，显然有实数根；

  ②当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，可根据一元二次方程的根的判别式△，然后结合△的非负数的性质进行证明．

      由于△=[﹣3（m﹣1）]²﹣4m（2m﹣3）=m²﹣6m+9=（m﹣3）²≥0，所以方程有两个实数根.

综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根．

（2）①由于原二次函数y₁=mx²﹣3(m﹣1)x+2m﹣3的图象关于y轴对称，所以有3(m﹣1)=0且m≠0，即m=1；因此所求的解析为y₁=x²﹣1．

②根据题意，可用下列三种常用方法进行求解.

法一　求差法：由于y₁﹣y₂=x²﹣1﹣(2x﹣2)=(x﹣1)²≥0，所以y₁≥y₂（当且仅当x=1时，等号成立）．

法二　求商法：由于y₁/y₂=(x²﹣1)/(2x－2)=(x+1)/2.

      当y₂＞0即2x﹣2＞0即x>1时，(x+1)/2>1，所以y₁/y₂＞1且y₂>0,去分母，得：y₁＞y_2；

      当y₂＜0即2x﹣2＜0即x＜1时，(x+1)/2＜1，所以y₁/y₂＜1且y₂＜0,去分母，得y₁＞y_2；

      当y₂＝0即2x﹣2＝0即x＝1时，通过计算显然有y₁＝y₂＝0.

      综上所述，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立.

法三　图象法：分别画出对应的函数y₁和y₂的图象，如下图示，

  又由x²－1=2x－2得x²－2x +1=0，得x₁=x₂=1，由此得到：抛物线y₁=x²﹣1与直线y₂=2x﹣2只有一个公共点（即x=1）.

      结合图象可知：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立.

      对比上述三种方法，显然“求差法”快速方便，但每一种解法均有借鉴意义，也是最常见的比较大小的方法.

（3）根据②的结论知：y₁、y₂的交点为（1，0），由于“对应x的同一个值y₁≥y₃≥y₂成立”，再结合上述图象可知：三个函数的图象都应交于（1，0）.又因y₃=ax²+bx+c的图象经过点（﹣5，0），因此可设y₃=a（x﹣1）（x+5）=ax²+4ax﹣5a.

      再利用“求差法“有：

      设y=y₃﹣y₂=ax²+4ax﹣5a﹣（2x﹣2）=ax²+（4a﹣2）x+（2﹣5a）；

      由于“对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y₁≥y₃≥y₂成立“，如下图示.

  又根据y₁、y₂的图象知：a＞0，所以y=ax²+（4a﹣2）x+（2﹣5a）≥0（其中a>0），即开口向上的抛物线y=ax²+（4a﹣2）x+（2﹣5a）永远在x轴或x轴的上方.因此有：

      △＝（4a﹣2）²﹣4a（2﹣5a）≤0，即（3a﹣1）²≤0，又（3a﹣1）²≥0，所以3a－1＝0，解得a=1/3.

      因此所求的抛物线解析式为： 

【反思】理解二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式，是解题的关键．

---

---

下面是本人主编或编著的书(点击书名，打开对应书籍的相关说明、目录与样章)：

购买渠道:"微店"(打开相关文章，扫描文中的二维码进店购买).

提醒：任何淘宝网均无授权销售，请朋友们认清购买渠道．

请分享转发给需要的朋友，谢谢！

【试题7】已知二次函数y=ax²+bx+c．

①若b=2a+1/2c，那么函数图象一定经过哪个定点？

②若a＜0且c=0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求证：4a+b²≤0．

③若函数图象上两点（0，y₁）和（1，y₂）满足y₁•y₂＞0，且2a+3b+6c=0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

【解析】

（1）将b=2a+1/2c整理为4a﹣2b+c=0，显然符合当x=－2时，对应的函数值，因此该函数图象一定经过的定点的坐标为（﹣2，0）；

（2）根据题目提供的条件和所要证的结论，显然与顶点相关，因此可先求得其顶点的纵坐标.

      当a＜0且c=0时，抛物线的解析式为：y=ax²+bx，其顶点的纵坐标为－b²/(4a)，且图象是开口向下的抛物线，因此该函数有最大值．

      又因原函数对于任意的实数x，都有y≤1，因此有：－b²/(4a)≤1，去分母得：﹣b²≥4a（a＜0），所以4a+b²≤0.

（3）将（0，y₁）和（1，y₂）分别代入原函数的解析式，可得y₁=c，y₂=a+b+c,利用y₁•y₂＞0得c(a+b+c)>0，再结合2a+3b+6c=0（已知条件）进行化简（消去c,因对称轴与c无关）即可得到b与a的关系，相应地得到二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

详细解答过程如下：

【解】（1）由b=2a+12c，可得4a﹣2b+c=0，∵当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=0，∴函数图象一定经过点（﹣2，0）；

（2）证明：此时抛物线解析式为y=ax²+bx，图象是开口向下的抛物线，a＜0．∴顶点纵坐标－b²/(4a)≤1，

∴﹣b²≥4a，∴4a+b²≤0；

（3）由2a+3b+6c=0得：

      6c=﹣（2a+3b），

由题意y₁•y₂=c•（a+b+c）＞0，

即6c•（6a+6b+6c）＞0，

（这一步骤仅为了计算方便，直接代入，然后去分母也可）

      将6c=﹣（2a+3b）代入上式，得：﹣(2a+3b)•(4a+3b)＞0，

(2a+3b)•(4a+3b)＜0，

      为了避开a的符号，两边同除以9a²，(还是为了计算方便)

      即二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

【反思】注意解题过程中式的化简和相关计算．

---

---

【试题8】已知函数y=（m+2）x²+kx+n．

（1）若此函数为一次函数；

①m，k，n的取值范围；

②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；

③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；

（2）若m=﹣1，n=2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．

【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；

②分两种情况，根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；

③根据一次函数的性质即增减性结合自变量的取值范围解答即可；

（2）把m=﹣1，n=2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，再分不同情况求出k的值．

【解】（1）①答案为：m=﹣2，k≠0，n为任意实数；

      此时函数解析式为：y=kx+n.

②当k＞0时，y随x的增大而增大，而当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，因此直线必经过(﹣2，0)、（1，3），则有：

      同理，当k＜0时，直线经过（﹣2，3）、（1，0），代入函数解析式，可求得：y=﹣x+1.

③当k＞0时，x=﹣2，y有最小值为﹣2k+n，x=3时，y有最大值为3k+n.

当k＜0时，x=﹣2，y有最大值为﹣2k+n；x=3时，y有最小值为3k+n.

（2）若m=﹣1，n=2时，二次函数为y=x²+kx+2，对称轴为x=﹣k/2.下面分三种情况说明：

      当﹣k/2≤﹣2，即k≥4时，由“当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4”(此时对应的图象在对称轴右侧， y随x的增大而增大，)可得：当x=－2时，y=－4.把x=﹣2，y=﹣4代入解析式y=x²+kx+2得：k=5（符合题意）.

      当﹣2＜﹣k/2＜2，即﹣4＜k＜4时，由于抛物线开口向上，此时对应的最小值，就是抛物线的顶点的纵坐标，所以可把x=﹣k/2，y=﹣4代入关系式得:

 y=(﹣k/2)²+k×(﹣k/2)+2，

      解得k=±2√6（不合题意，舍去.）

      当﹣k/2≥2，即k≤﹣4时，由“当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4”(此时对应的图象在对称轴左侧， y随x的增大而减小，)可得：当x=2，y=﹣4代入解析式y=x²+kx+2得：k=﹣5（符合题意）．

      综上所述，实数k的值为±5．

【反思】这是很基本又很重要的的函数概念与性质相关的试题，在自变量限制范围内时找最值时，需要熟练掌握函数的性质（增减性）与对称轴间的关系，才能顺利解题。

---

[相关文章]

尖子生之路[中考复习系列]

---

---

中考压轴题复习教学体会系列

---

---

你的点赞和分享，就是给予我信心和动力！

扫描下列二维码，关注本公众号，进入后，

输入"book"或"样章"或"教辅"(均不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录和样章.

输入"尖子生"或"培优系列"(均不含双引号)可得到相应的"尖子生之路"和"培优系列"各个按年级汇总的所有文章.

输入"搜索文章"可得到如何快速查找本公众号的文章（如同百度搜索，方便快捷！）……

输入"abcd"可得到：所有关键词与对应的输出结果（陆续更新中）

您的点赞是对我的鼓励和肯定，

您的分享和转发是我坚持的信心和动力！  

---