抛物线与线段、角（动点）综合汇总（1）——中考备考系列[尖子生之路]

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

收录于合集 #专项汇总 77个

推荐阅读:

1.近三年福建九地市九下质检压轴汇总

2.《图解精析中考数学压轴题》试读版

3.中考数学学答题需训练与适应的几点建议

4.精心策划考前训练，稳中求进提升效益

5.面对现实　从容备考 —冲刺注意的几点

6.本人主编或编著的书籍介绍及购买方法

7.2018年全国各地中考压轴解析汇总

8.2017年全国各地中考压轴解析汇总

9.关注本公众号,进入后,输入"1",可获得本人录制的622分钟免费视频教程观看地址.输入“搜索文章”可得"快速查找本公众号文章"视频演示.

抛物线与线段、角(动点)综合汇总(1)

【试题1】直线y＝－3/2x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y＝－3/4x²＋2mx－3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；

（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．

①当∠DPE＝∠CAD时，求t的值；

②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN＝EM时，求t的值．

【图文解析】

(1)由直线解析式不难得到A（2,0）,B（0,3）,由抛物线过A点,可得关于m的方程，解之即可得m=3，所以抛物线的解析式为y=-3/4x²＋6x-9=-3/4(x-4)²+3,得顶点D（4,3），进一步得到抛物线与x轴的另一交点C（6，0）.

(2)法一：由A、B、C、D点的坐标，不难得到AB＝AD＝√13，当∠DPE＝∠CAD时，不难得到：∠1＝∠2＝∠3＝∠4，如下图示：

进一步得到：PQ∥AB，又AC∥BD，从而四边形ABPQ是平行四边形，得到BP＝AQ，所以有：

②需要分两种情况讨论：如下图示，

当点N在AB上时，不难得到：

PN＝y_P－y_N＝3t，同时ME＝PN＝3t，EF=y_N=3-3t，PD＝4-2t，AQ＝4-3t.

再通过△PED∽△QEA，得到：ME/EF＝PD/AQ（相似三角形对应高的比等于相似比），即：

【拓展延伸】若最后一小问改为：②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当2PN＝EM时，求t的值．（只做研讨，不给答案）

【试题2】如图，二次函数y=-x²+bx+2的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(-4，0)，P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合).

(1)b=____，点B的坐标是_______;

(2)设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM:MB=1:2?若存在，求出点P的横坐标;若不存在，请说明理由．

(3)连接AC、BC，判断∠CAB与∠CBA的数量关系，并说明理由．

【题干精析】

(1)由该二次函数y=-x²+bx+2的图象与y轴交于C点，可得C（0，2）；

(2)由该二次函数y=-x²+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，其中A（-4，0），只需将点A的坐标代入，得-(-4)²+b×（-4）+2=0，解得b=-5/6，得到解析为y=-x²-5x/6+2，进一步由y=0可得到B（3/2，0）；

(3)P是该抛物线上的动点（不与A、B、C重合），可设P（t，-t²-5t/6+2），其中t≠-4和0和3/2，这种设法是动点问题中最常用也是最基本的思路，当然对有一些试题也麻烦，但通用.

【图文精解】

(1)由题干精析，已经求出了b=-5/6，B(3/2，0).

(2)由已知条件（A（-4，0）、C（0，2），不难得到直线AC为y=x/2+2，根据已知条件“…PM：MB＝1：2…“可画出符合条件的草图，如下图示：

或：

下面提供三种思路：

法一（通法，但计算量较大）：设P（t，-t²-5t/6+2），添加如下图示的辅助线（仅分析第一个图，另两个图的解题思路相同）：

则BD＝1.5-t，PD=-t²-5t/6+2.由△MBE∽△PBD可得ME：PD＝BE：BD＝MB：PB＝2：3（已知条件PM：MB＝1：2），得到ME＝2/3×PD＝-2t²-5t/9+4/3，BE=2/3×BD＝1-2t/3，进一步得到M点的坐标为（0.5-2t/3，-2t²-5t/9+4/3），然后代入直线AC的解析式y=x/2+2，结果方程无实数根.

类似分析以下两种情况：

法二（通法——与法一设法不同）

如下图示：

其他情况类似.

当然也可直接先设M点坐标（利用直线AC的解析式），但计算量均较大。

法三：（利用直线与抛物线相交得到P点坐标），如下图示：过P点作PQ∥AC。

由A、C两坐标与BQ：AQ＝1：1（由平行线分线段成比例定理结合已知条件不难求得），不难得到Q（-5/4，0），再由直线PQ∥直线AC（y=-x/2+2），不难求得直线PQ为y=x/2+5/8，最后利用直线PQ与抛物线的解析式求出交点P点横坐标，即可得到所求的答案，其他情形类似.

（3）由A、B、C三点坐标的特殊性，不难得到以下两种思路：

【方法精点】

1.平面直角坐标系中的线段比的转化，是常法通法，也是解题的关键，务必熟练掌握；

2.函数的动点问题的通法：“设、求、代“——可参考之前的多篇文章。

3.含参计算是解此类的问题的关键，务必过关，计算不过关，“一切免谈“！

4.第3问其实是几何中的常见的问题，一般至少有两种思路：“取长补短（倍长）法“

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E．连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t>0）．