例谈数学压轴审题与答题(纯几何与纯代数各一例)
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纯几何综合
【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，如图1-3，若BG=6，（或S△AEG=3√3），求AC的长．
题干解读：
原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，……
图解题意：
直角、45°，等腰、对称
发挥想象：
背景为等腰直角三角形——“等腰”与“直角”的众多重要结论——对称、旋转（具备直接旋转的条件）——与正方形相关——特殊角（45°）——倍角为直角——“三线合一”……
原文：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，……
图解题意：
发挥想象：点E、F可看作动点，两动点此时可看作各自边上的“自由动点”（即无互相牵制），尚未有所联系．“动中有静”——常设元，通过“方程”解决（方程思想）．
原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，连接CF，交BE于点D，……
图解题意：
发挥想象：点E、F可看作动点，两动点此时可看看作各自边上的“自由动点”，尚未有所联系．“动中有静”——常设元，通过“方程”解决（方程思想）．
原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，……．
图解题意：
发挥想象：结合上述已有条件，得：
“一边一角”相等——全等；
一角相等+再证一角相等——相似．
上图中的基本图形——“Rt△BCE的斜边上的高”——非常丰富的结论．
原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．……
图解题意：
发挥想象：
与角平分线相关的思路如下：结合45°和90°的特殊角，便有更多的结论和思考空间．
至此，已经将试题的题干部分图解并精析完成，此时实际上已经得到了较多与本题有关的结论和思路．
第1小题解决
原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；……
图解精析：
思路1
思路2
发挥想象（见下一小题的题干分析部分）：
第2小题
先分析题干部分
原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，……
图解题意：
基本图形：
发挥想象：
（重要图形，知二求一——利用三角函数与相似，可得众多结论）
原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，……
图解题意：
发挥想象：
原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，……
图解题意：
原文：
【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；
……
图解证明：
发挥想象：
第3小题
原文：
【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，……
图解题意：
见上述图形，另外还有以下结论：
原文：
【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，……．
图解题意：
用方程思想处理“∠GAC=2∠FCH”，得到30°的特殊角．
进一步，还可以得到众多与之相关的重要结论（后续需要时说明）
原文：
【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，如图1-3，若BG=6，……
图解题意：
原文：
【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，如图1-3，若BG＝6，（或S△AEG=3√3），……
图解题意：
原文：
【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：CF=BG；
（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，如图1-3，若S△AEG=3√3，（或BG=6），求AC的长．
图解题意：
发挥想象：
非Rt△只需三个条件（至少一个是边的条件）即可解之．
至此，本题已完美解决．
反思：逐字逐句读懂试题表述，耐心感受和体会图形的点、线、形的“生成”与“呈现顺序”．善用数学语言表述你所得到的结论，并标注上“相应标记”，根据图形上的点、线、形的位置关系与特点，大胆思考，并解读试题所涉及的相关知识内容，再进行综合运用即可解决问题．
（后面还有哦，请继续……）
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题干解读：
原文：在平面直角坐标系xoy中，已知点A．若对点A作如下变换：
读出题意：坐标系背景下：（养成好习惯）建立坐标系，此时的点尚未确定，可理解为动点，另外此语句也道出的试题背景，新定义或阅读理解的开始．
原文：作点A关于x轴的对称点A1……
读出题意：点A与点A1的坐标联系：横坐标相同，纵坐标相反，即若A（a，b），则A1（a，-b），其中a、b是任意实数．在坐标系表示时，点A和点A1可以在任意象限或坐标轴上，若连接AA1，则有AA1垂直平分x轴．
原文：以O为位似中心，作线段OA1的位似图形OA2……
读出题意：位似是相似的特殊情况，相似的相关性质均成立，原文中的描述相当于：将线段以原点为放缩中心进行放缩．同时要特别注意的是：位似中心为坐标原点（特殊点），而在坐标系中，以原点为位似中心的对应点的坐标特征又是如何？（提示：若点P（m，n），相似比为k，则位似点的坐标为（km，kn）或（－km，-kn）．
原文：……相似比OA2/OA1＝q……
读出题意：
（1）对几何图形来说，两线段的长度的比值均为正数，即题中的“q“为正数.但在坐标系中，对于坐标而言，其值可正可负．自然需要考虑到关于原点对称的两情况；
（2）q的值并不是确定的值，可理解为动参数，且q≠0，显然当q的值变化时，位似点A2也随之改变；
（3）”点动成线“——点A2总是在直线OA1运动，即经过原点和点A的对称点（A1）上运动（原点除外）．因此当点A确定时，点A2的运动路径也随之确定，如下动态图演示．
原文：称A2是点A的对称位似点……
读出题意：新定义（阅读理解）型试题，思考相关问题时，务必遵循上述规则思考点的变化，并能用数学语言和图形语言（坐标系中表示）表达出来．
第一小题解决
读懂了题干，第（1）问就迎刃而解了。如下图示：答案为（4，-6）或（-4，6）．
第二问（两小题）
（支）题干解读：
原文：已知直线l：y=kx－2……
读出题意：（1）该直线的解析式中有一个参数k（位于一次项系数的位置），并且没有任何限制条件．有一个常数－2；（2）简单理解：直线y=kx-2是动直线，且直线的倾斜度随k的值的变化而变化，当k取特殊值0时，则直线与x轴平行，此时是一个常数函数．（3）进一步，理解本质：该直线经过定点（0，-2），且绕着定点（0，-2）旋转的任意直线．
读出题意：
（1）抛物线C的解析式中只含一个参数m，且位于一次项系数的位置上，同时m的值为正数，而二次项系数与常数项均为确定的常数；
（2）图象上理解：当m的值变化时，抛物线C可以由任意特殊位置（如y=-1/2x2）进行互相平移；
（3）抛物线经过定点（0，－2）（恰好也是直线y=kx-2所经过的定点），由此又可得到：若直线l与抛物线C还相交，则另一交点坐标可通过因式分解易求，即解的结果不会出现根式（本公众号已有多篇文章说明），如下：联立抛物线C与直线l的解析式，得：
（4）由m>0，与二次函数-1/2＜0异号，则抛物线的对称轴x=m,位于y轴的右边．
（5）可以通过配方，得到抛物线的顶点坐标（用m表示）为(m，-m2/2-2)．
从上述分析，显然还是没办法画出准确的函数图象，但可以根据m的值画出草图了）
（5）当m=2k时，xM＝2(m-k)＝2k，对应的ym=-2k2-2，即M(2k，-2k2-2)．此时点M恰为抛物线C的顶点；
当m=－k时，xM＝2(m-k)＝－4k，对应的ym=-4k2-2，即M(-4k，-4k2-2)．
第二题（1）问的解决
原文：①当k=1/2时，……；
读出题意：当k=1/2时，由上述题干解读知：所有的相关点的坐标（如N（2，））．和相关式子均可具体求出；当然也可直接代入进行求解．本小题所需要的点是N（2，-1）．
原文：判断E（1，－1）是否为点N的对称位似点？请说明理由；
读出题意：此时E（1，-1）和N（2，-1），根据题干解读知：只需判断点E是否在直线ON（y=-x/2）点?或E点与N点的坐标能否满足：横坐标的比＝纵坐标的比（比值绝对值即为题中的q）?因此只需将相关数据直接代入计算即可判断．
答案如下：
【法一】因点N关于x轴的对称点N1（2，1），根据定义，N点的位似点应为(2t，t)(t为任意实数，用t代替q，避免分类)，进一步，得：N点的位似点应在直线y=x/2上（原点除外）．显然E（1，-1）不在直线y=x/2上，所以当k=1/2时，点E（1，-1）不是点N的对称位似点．如下图示，
第二题（2）问的解决
问题再现：若直线l与抛物线C交于点M（x1，y1）（x1≠0），且点M不是抛物线的顶点，则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上？请说明理由．
下面详细分析
原文：直线l与抛物线C交于点M（x1，y1）（x1≠0）……
读出题意：（支）题干解读中已详细分析．M(2k，-2k2-2)或M(-4k，-4k2-2)
原文：点M不是抛物线的顶点……
读出题意：因顶点为(2k，-2k2-2)（题干解读中已有分析），所以M(-4k，-4k2-2)．
原文：点M的对称位似点……
读出题意：因M(-4k，-4k2-2)，根据题干解读知：点M关于x轴的对称点为M1(-4k，4k2+2)，点M的对称位似点为M2(-4kt，(4k2+2)t)(t≠0的实数，用t不用原来的q是为了避开分类讨论)．
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