压轴解析｜三角形与四边形（4）——九上期末质检复习

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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(2017·漳州)如图1，菱形ABCD中，∠B＝120°，点E，F分别在AD，AC上，EF∥CD.（1）直接写出CF与DE之间的数量关系：_______________；（2）将△EAF绕点A逆时针旋转到如图2所示，连接DE，CF，求CF与DE的数量关系；（3）在（2）的条件下，若EF交AD于H，DE∥AF，AH·DH＝2，求EH·CH的值.

【图文解析】
(1)如下图示：由EF∥CD，可得到：AE：DE＝AF：CF，根据比例性质，可得：AE×CF＝DE×AF，进一步又可以得到：CF：DE＝AF：AE.

在△AEF中，由菱形的性质，不难得到：∠DAF＝0.5∠DAB＝0.5×60⁰＝30⁰，由特殊角30⁰不难想到构造直角三角形：过E点作EG⊥AC于G，如下图示：

（2）又是一道“旋转相似”的试题，之前已有多篇文章叙述（其中九地市的期末质检试题中也有挺多地区考查到），不做详细解析，只做图解，如图示：

通过△FAC∽△EAD，得到CF：DE＝AF：AE＝√3：1，所以CF＝√3DE.
（3）除了有上述“旋转相似”外，多了条件DE∥AF，显然必有与之相关的更强的结论，为此应围绕“点H”相关的线段与角重点考虑。由（1）结合DE∥AF可得：

又由△FAC∽△EAD可得：∠AFC＝∠AED＝150⁰，所以∠EFC＝180⁰，即E、F、C三点在同一直线上.如下图示：

由此本题图可简化为如下 (删除与所求无关的点、线等)：
为此只需证明△AHE∽△CHD，就可以将所求的EH·CH进行转化为AH·DH(已知).如下图示，显然△AHE∽△CHD.

所以AH：CH=EH：DH，因此EH·CH=AH·DH=2.
【点评】从最基本最常见的特殊菱形(含60度)的“特殊”出发，通过旋转到“一般”，再到“特殊”(DE∥AF)，试题编制非常完美，问题设计也巧妙，第3问虽难度较大，但如果围绕特殊的条件(DE∥AF)结合“一般”得到的结论，也不难突破，当然证明E、F、C三点成一线是本题的关键。同时本题可拓展的空间也大。如将条件弱化：特殊的菱形改为一般的菱形，旋转前的条件EF∥CD改为一般的能使△AEF与△ACD相似的条件；又如：将条件强化将菱形改为正方形、改为矩形等；又如将结论深入，求相关点路径或最值问题，也不难编制等。显然是一道不可多得的好题。（18·泉州）如图，在正方形ABCD中，AB = 4，点P、Q分别是AD、AC边上的动点．
（1）填空：AC = ；（2）若AP = 3PD，且点A关于PQ的对称点A′落在CD边上，求tan∠A′QC的值；（3）设AP = a，直线PQ交直线BC于点T，求△APQ与△CTQ面积之和S的最小值．（用含a的代数式表示）

【图文解析】
（1）4√2；（2）法一：（属于常见“一线三等角”（不完整）——基本图形）

法二：通法（但较繁琐，同时下述解法，又提供一种，如何通过“换元”简化计算，不妨认真阅读一下，特别在综合题的计算常遇到）

（3）法一：
显然△AQP与△CQT相似，设相似比为k，△AQP的边AP上的高为h，如下图示：

（18·漳州）【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：(1)CD² = AD·BD,(2)AC² = AB·AD,(3)BC²=AB·BD；请你证明定理中的结论BC²=AB·BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若BE＝2√10，求OF的长．

【图文解析】
（1）可直接利用相似证明（略）

也可用锐角三角函数的定义证，更方便，如下：

（2）本题与之前写的文章：“与2017福州九下质检第16题类似的试题的多种解法分析与大胆拓展及变式”（直接点击打开阅读）几乎相同．
①根据（1）的结论，可得：

所以OB×BD＝BF×BE，得到OB/BF＝BE/BE．又∠DBE是公共角，因此△BOF∽△BED．同时还可得到∠BFO＝∠BDC＝45°．如下图示．

注：本题若不用“射影定理”，证法多种，方法至少10种（之前至少已有3篇文章解析，如：下面再提供一种——辅助圆

②预备结论：

利用勾股定理、射影定理和三角形面积公式不难得到：
……（18·漳州）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG//CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG.（1）求证：四边形ECDG是菱形；

（2）若DG=6，AG=14/5，求EH的值.

【图文解析】
（1）

（2）下面用三角函数的定义来解（用相似类似）

进一步地，得到：

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