【超前自学与培优提升】抛物线的顶点、交点与最值

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1.本系列试题内容选自笔者编著的《尖子生之路》系列丛书中的内容，并加以深化解析，补充图书编写的局限和不足，其中部分拓展延伸的详细答案，可扫描文中的二维码进入笔者对应的视频号“延伸课堂”观看详细解析.2.已建立《尖子生之路》微信群，主要收集此系列丛书使用后的建议、勘误及今后的发展方向，不定时无条件分享与数学相关的资源，同时图书销售的客服和负责人（电话与微信同号：13 696867 205）也在群中，任何与图书购买的相关问题可直接联系。想加入微信群的朋友，可在微店中留言，由客服拉入.
抛物线的顶点、交点与最值

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【知识点巩固】

22.1.1二次函数的概念第22章二次函数小结与复习【例1】当k为何值时，抛物线y=(k-1)x²+kx+1与x轴的两交点的距离为3？【分析】直接通过解关于x的一元二次方程，得到抛物线与x轴交点的横坐标，再利用两交点的距离为3，建立方程求解．也可利用根与系数的关系（韦达定理）求解．【解】当y=0时，(k-1)x²+kx+1 ＝0．因式分解，得(x+1)[(k-1)x+1]=0．解得x₁=－1，x₂=-1/(k-1)．依题意，得｜-1/(k-1)+1｜＝3．解得k=1/2或k=5/4.

【拓展1】不论k为何值时，抛物线y=（k－1）x²+kx+1必经过一定点，求定点坐标。(答案在后面提示中）
【例2】如图8-1，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的一个交点A在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两点)，顶点 C是矩形DEFG内(包括边界和内部)的一个动点，求a的取值范围．【解析】因为a＜0，所以开口最小时，a取得最大值，开口最大时a取得最小值，如图8-1T1和图8-1T2．
答案为-3/4≤a≤-2/25.

【拓展2】如图8-2，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的一个交点A在点(1，0)和(3，0)之间(包括这两点)，顶点 C是三角形DEF内(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是_______.

(答案在后面提示中）
【例3】抛物线的顶点在x轴下方，则m=　．【分析】根据抛物线的定义和顶点所在位置进行求解．【解】依题意，得          即     ∴m=﹣1．

【拓展3】已知抛物线y=x²﹣2kx+3k+4．求符合下列条件的k的值．

（1）顶点在y轴上；

（2）顶点在x轴上；

（3）抛物线经过原点．

(答案在后面提示中）

【拓展4】若抛物线y=x²﹣（2m﹣1）x+9的顶点在坐标轴上，求m的值．(答案在后面提示中）
【拓展5】若抛物线y=x²+6x+k²的顶点M在直线y=﹣4x﹣5上，求k的值．
(答案在后面提示中）
【拓展6】已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=1/(2x)上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），求y=﹣abx²+（a+b）x的顶点坐标．(答案在后面提示中）
【拓展7】我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y=ax²+bx（a≠0）．（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a、b的值；（2）当顶点坐标为（m，2m），m≠0时，求a与m之间的关系式；（3）如果b≠0，且过原点的抛物线的顶点在直线y=（k+1）x（k≠﹣1）上，请用含k的代数式表示b．

(答案在后面提示中）

【例4】若抛物线y=x²+2mx+m²+3m－2与x轴两交点为（x₁，0），（x₂，0），求x₁²+x₁x₂+x₂²的最小值.

【分析】利用根与系数的关系（或求根公式），用含m的代数式表示x₁+x₂和x₁x₂，再将x₁²+x₁x₂+x₂²化为关于m的二次函数，求出其最值即可．【解】依题意，得x₁+x₂＝－2m，x₁x₂＝m²+3m－2．∴x₁²+x₁x₂+x₂²＝（x₁+x₂）²－x₁x₂＝（－2m）²－（m²+3m－2）＝3（m－1/2）²+5/4．∴当m=1/2时，x₁²+x₁x₂+x₂²的最小值为5/4．【拓展8】已知a≥2，m²－2am+2=0，n²－2an+2=0，求(m－1)²+(n－1)²的最小值.(答案在后面提示中）

【拓展9】已知抛物线y=x²﹣2ax+a²﹣2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．

（1）求A、P点的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）点Q在抛物线上，求线段PQ的最小值．

(答案在后面提示中）

【拓展10】若a，b，c分别为△ABC的三条边，且满足a²+b²=c²=25，求2a+b的最大值.

(答案在后面提示中）

【拓展11】平面直角坐标系中，直线y₁=x+3与抛物线的图象如图8-3，点P是y₂上的一个动点，求点P到直线y₁的最短距离．

(答案在后面提示中）

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【拓展】的答案

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