抛物线与四边形系列（2）|代几综合【压轴解析】

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注：本系列内容选自本人已使用多年的中考系统复习讲义内容,共34课时（在下方4个链接中），从知识点复习（解读）到例习题的分析全程视频讲解，可作为即将参加中考的孩子提前复习使用，欢迎转发分享.

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中考数学系统复习与同步训练（01-10）
中考数学系统复习与同步训练（11-20）
中考数学系统复习与同步训练（21-30）
中考数学系统复习与同步训练（31-34）中考数学压轴题按知识点详细分类汇总表V1.0

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抛物线与四边形系列（2）

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6．抛物线与直线，动态问题，矩形，最值

 (2017·甘肃天水)如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax²﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；

（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5/4，求a的值；

（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【图文解析】（1）简析：当y=0时，ax²﹣2ax﹣3a=0.因式分解，得a(x+1)(x-3)=0.解得x₁=﹣1，x₂=3，所以A（﹣1，0），B（3，0）.因此对称轴为直线x=（－1+3）/2＝1.

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【拓展】若抛物线过（m,k）和(n,k)，则其对称轴为直线x＝(m+n)/2.

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（2）过D点作DE⊥x轴于E点，因C(0，b)，则OC＝－b，如下图示，
由OC‖DE，不难证得：OE:OA＝CD:AC＝3:1，OC:DE＝AC:AD＝1:5，且由A（-1，0）得OA＝1，所以OE＝4，DE＝5OC＝-5b，得D（4，5b）.直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），则0=﹣k+b得k=b，所以直线l为y=bx+b.
又因D点也抛物线上，将D（4，5b）代入抛物线解析式，得5b=a×4²﹣2 a×4﹣3 a（a＜0），解得b=a.　所以，直线l的函数表达式为y=ax+a.

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（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，如下图示，设E（x，ax²﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a）.得EF=y_E－y_F=…＝ax²﹣3ax﹣4a.所以S_△ACE=S_△AFE﹣S_△CEF=0.5EF×h₁－0.5EF×h₂＝0.5EF×(h₁－h₂)＝0.5EF×OA＝0.5EF＝0.5(ax²﹣3ax﹣4a).配方，得：S_△ACE＝0.5a(x-3/2)²-25/8a.所以△ACE的面积的最大值=﹣25/8a，又△ACE的面积的最大值为5/4，所以﹣25/8a =5/4，解得a=﹣2/5.当然，当直线EF“穿过”三角形ACE的内部，S_△ACE=S_△AFE＋S_△CEF＝0.5EF×(h₁－h₂)＝0.5EF×OA，上述结论仍然成立，如下图示：【反思】面积求法有多种，这是最便捷的一种，但不论哪一种，思路均为“斜化直”及转化为易求图形的面积的和差。

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（4）假设存在，作出符合题意的图形，
①若AD是矩形ADPQ的一条边，如下图示，当AQPD为矩形时，根据“直角”可以得到相关常见基本图形及辅助线，如下图示：把x=－4代入抛物线解析式，可得到点Q的坐标为（－4，21a）. 进一步地，如下图示，由勾股定理得：AQ²＝3²+(－21a)²_，AD²＝5²+(－5a)²_，DQ²＝8²+(－16a)²_.在Rt△DAQ中，由勾股定理，得AQ²+AD²＝DQ²，即3²+(－21a)²+5²+(－5a)²　　　＝8²+(－16a)²_.

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②若AD是矩形APDQ的对角线，如下图示，

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如上图，由勾股定理得：AQ²＝3²+(－3a)²_，AD²＝5²+(－5a)²_，DQ²＝2²+(－8a)²_.在Rt△DAQ中，由勾股定理，得：AQ²+DQ²＝AD²，即：3²+(－3a)²+2²+(－8a)²　　　＝5²+(－5a)²_.

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【反思】第3小题解题的关键是：尽可能作出符合条件的图形，再充分利用条件中的“直角”建立相似或全等关系。7．双曲线与矩形，对称
（2017•温州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=k/x（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为_______．

【图文解析】

因AB＝1，点B在反比例函数y=k/x的图象上，可设B（k，1），根据对称性（四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称）知：显然只需求出A’的坐标，将之代入双曲线的解析式y=k/x中，即可得到关于k的方程，解之即可得到k的值.因此可添加下列辅助线：【反思】利用矩形和轴对称的性质，正确的作出辅助线，求出点A’的坐标，通过点A’在反比例函数图象上，得到方程，从而求得k的值.

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【练习】在原试题的条件下，求B’的坐标.即：
如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=k/x（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，求B’坐标．

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【图文解析】

（1）简析：将点（﹣2，0）和（-1，3）代入抛物线的解析式y=ax²+bx，可得关于a、b的方程组，解得a=－3，b= - 6.所以抛物线的解析式为y=﹣3x²- 6x；

（2）

（3）

由题意及（2）可得：

b₁= - 4，b₂=0.

①当b=0时，不合题意，舍去.

②当b=- 4时，y=ax²-4x.

因为第n条抛物线不能经过点D_n，不防设第（n+k)条抛物线经过点D_n.由对称轴，得a=－2/（n+k）.再把D_n（-3n,2n)代入y=ax²-4x，可得：5k=4n.再由n、k为正整数，且n≤12，得n₁=5，k₁=4；n₂=10，k₂=8；此时n+k=18>12(舍去）.所以：D₅（-15，10）.此时正方形边长为10.

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【变式】若将3小题中的“n为正整数，且n≤12”条件改为“n为整数，且≤12”，那么是否还存在能使题意成立的正方形，若存在，求此时的n与k的值。若不存在，说明理由。

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【简析】在原来的条件，还就再讨论n为负整数的情况。方法同上。

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