抛物线与四边形系列（1）
（2017·陕西）在同一直角坐标系中，抛物线C1:y=ax2-2x-3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
图文解析：（1）简析：因C1与C2关于y轴对称，因此两抛物线的交点在y轴上，且形状、大小、开口都相同，所以a=1,n＝－3；同时因C1的对称轴为x＝1，所以C2的对称轴为x=-1，从而得到m=2.因此所求的两抛物线的表达式为：C1：y＝x2-2x-3；C2：y＝x2+2x-3.（2）简析：在C2中，当y=0时，x2+2x-3＝0，解得：x1=-3, x2=1,所以A（-3，0），B（1，0）.（3）认真观察动态演示（自动演示）由（2）知：AB＝4＝PQ.
情形1 当四边形AQPB为平行四边形时，如下图示，设Q（t，b），则P（t+4，b）
根据点P与Q的纵坐标相同，可得： (t+4)2-2(t+4)-3=t2+2t-3=b解得：t=－2，b=－3.所以：Q（－2，－3），则P（2，－3）
情形2 当四边形APQB为平行四边形时，如下图示，设Q（t，b），则P（t－4，b）.
根据点P与Q的纵坐标相同，可得： (t-4)2-2(t-4)-3=t2+2t-3=b 解得：t=-2，b=5.所以：Q（－2，5），则P（2，5）
拓展：若将第三问中的“使得以AB为边，且”去掉，则能否再找到其他答案呢？
图形如下，解法类似.（试试看！）
2．抛物线与对称，平行四边形．（2017·青海）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想△EDB的形状并加以证明；（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图文解析：
（1）由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，如下图示：
可设所求的抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3，把A点坐标代入可得0=a(4﹣2)2+3，解得a=－3/4， ∴y=－3/4(x﹣2)2+3，即y=－3/4x2+3x；（2）方法多种，仅提供两种解法：
方法一：如下图示，
易证△DOE≌△BAD，得到DE=DB，且∠1=∠2，又∠1+∠3=∠2+∠3=90°，得∠2+∠3=90°，所以∠4=90°，因此△EDB是等腰直角三角形.
方法二：由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断，如下图示.
（3）观察动态图(动画自动演示)
先求F点的坐标：由B、E两点求得直线BE的解析式为y=0.5x+1，再结合对称轴x=2可求得F（2，2）.
下面分两种情况： 当AF为边时,有两种情况,如下图示：情形1：情形2：
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（2017•绍兴）如图1，已知平行四边形ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是平行四边形ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）
图文解析：
（1）如下图示，因点P在边BC上，PD=CD，显然只有P点与C点重合时，才符合条件.
∵依题意，得：点P与点C重合，CD=6，
∴点P坐标为（3，4）．
（2）观察动态演示（自动播放）：
分两种情形：
①当点P在边AD上时，如下图示：
不难求得直线AD为y=﹣2x﹣2，
可设P（a，-2a-2），且﹣3≤a≤1，
则点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2），
点P关于y轴的对称点Q2（﹣a，2 a +2）.
若点Q1在直线y=x﹣1上时，有：
2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，
此时P（﹣3，4）．
若点Q2在直线y=x﹣1上时，
有﹣2a﹣2=﹣a﹣1，
解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）
②当点P在边AB上时，
设P（a，﹣4）且1≤a≤7，
则点P关于x轴的对称点Q3（a，4），
点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）.
当点Q3在直线y=x﹣1上时，有：
4=a﹣1，解得a=5，
此时P（5，﹣4），
当点Q4在直线y=x﹣1时上，有：
﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，
此时P（3，﹣4）.
综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．
（3）观察动画演示（自动播放）
①当点P在AB上时，如下图示：
易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．
②当点P在线段CD上时，如下图示：
在Rt△OGM′中，有x2=22+（x﹣1）2，
解得x=5/2，∴P（﹣5/2，3）．
说明：上述求点P的坐标还可用相似或三角函数的定义来求.反思：本题解决的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，想方设法画出相应的图形（这一步最重要），学会构建方程的方法解决问题．（2017•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．
【图文解析】
（1）如下图示，
所以，曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=﹣(x-1)2+4（-1≤x≤3）.
（方法多种，这里略去）
（2）如下图示：
圆心M即为线段BC（因B（3，0），C（0，3），△OBC为等腰直角三角形）与AB的垂直平分线的交点，即直线y=x与抛物线对称轴的交点.
不难得到圆心D（1，1），再根据勾股定理，不难得到半径BD＝根号5.
即△ABC外接圆的半径为根号5.
（3）通过正确画出符合题意的图，理论上有以上六个答案：
①当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC，P点纵坐标为3，如下图示：
②当BC为平行四边形的对角线时，则有BQ∥PC，P点纵坐标为3，如下图示：
显然，不论哪种情况，都只需将纵坐标为3分别代入曲线M和N的解析式，再分别求出相应的横坐标，通过平移，就得到所要求的Q点坐标。
同时为了计算方便和不重复，可能通过中心对称的办法，求出Q点坐标。
如：当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标．
综上，Q点的坐标为：
【反思】正确画出符合条件的图形，是解题的关键，运用平移、对称的性质解题会带来方便，同时注意方程思想与分类讨论思想在解题的运用，最后一问情形多，要防漏解。
5．抛物线与直线，动态问题，平行四边形，（阿氏）圆，路径与最值
（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣1/2x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求1/2AM+CM的最小值．【图文解析】
（1）简析：将点A（﹣4，﹣4）和B（0，4）代入抛物线的解析式y=﹣x2+bx+c，可得关于b、c的方程组，解得b=－2，c=4.所以抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）当四边形GEOB是平行四边形时，先作出符合条件的图形，因点的顺序固定，所以答案只有一种，如下图示：
首先先由A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点用待定系数法求出直线AB的解析式，为y=2x+4.因E是直线AB上的动点，可设E（m，2m+4），如下图示：
得EG＝yG－yE=(﹣m2﹣2m+4)﹣(2m+4)= ﹣m2﹣4m.当四边形GEOB是平行四边形时，EG=OB=4，即﹣m2﹣4m =4，解得m=﹣2，所以G（﹣2，4）.【反思】若题中的条件“四边形GEOB是平行四边形”改为“以G、E、O、B为顶点的四边形是平行四边形”，则答案有多种。其余相关图形如下：
（3）①由已知条件，不难证明∠EAF＝90°，△AEF为直角三角形，所以当以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形时，只有一种可能是四边形AEHF是矩形（点的顺序固定），如下图示：
首先先求出直线AB的解析式为y=2x+4.因E点在直线AB上的动点，所以可设E（a，2a+4），相应地F为（a，﹣1/2a﹣6）（因直线AC：y=﹣1/2x﹣6），
因EF是矩形AEHF的对角线，所以EM＝FM，得到M（a，3/4a-1）.同理，又可得M（－2，－2+1/2p），如下图示，
所以a=﹣2，3/4a-1＝－2+1/2p.解得a=﹣2，p=﹣1.所以E（﹣2，0）．H（0，﹣1）.②将与本小题无关的点与线（包括抛物线删除——解难题前建议先“清理垃圾”），得到：
半径＝AE的1/2（或AE＝半径的2倍），这与题目“求1/2AM+CM的最小值”中的1/2，显然有必然的联系．遇到1/2AM+CM常转化为通常的两线段和，进一点转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”或利用“函数转化为最值问题”，根据题意，本题不宜用函数方法，同时因本题中的动点M是在圆上动，可经常通过“旋转相似”进行转化。为此，取半径EG（这条半径在OA上）的中点P，连接EM、PM，得到△MEP和△AEM，如下图示：
此时，我们所需要的线段AE＝2×根号5，EM＝半径＝根号5，EP＝半径的1/2，不难得到：EM：AE＝EP：EM，又∠AEM＝∠AEM，所以△MEP∽△AEM，从而得到PM：AP＝相似比＝1/2，得到PM＝1/2AM，成功转化.“求1/2AM+CM的最小值”就转化为“求PM+CM的最小值”，由于P、C均是定点，且M点在⊙E上运动，根据“两点之间线段最短”（或三角形的三边关系），不难得到：当M落在PC与⊙E的交点上时，PM+CM最小.如下图示：
因此，所求1/2AM+CM的最小值，就是PM+CM的最小值＝PC的长.