二次函数与计算说理系列（1）|代几综合【压轴解析】

二次函数与计算说理系列（1）

1．抛物线与角、计算说理

（2017·南通）已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax²（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值．

（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标．

（3）延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO．

【图文解析】

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【反思】第3小题的三种解法，其本质都一样。另试题本身含较丰富的参数的计算，因此式的变形正确与否在本题中就显得非常重要。

2．抛物线与直线相关

（2017·福建）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax²+ax+b有一个公共点M(1，0)，且a<b.

（1）求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示)；

（2）说明直线与抛物线有两个交点；

（3）直线与抛物线的另一个交点记为N.

   (i)若-1≤a≤-1/2，求线段MN长度的取值范围；

   (ii)求△QMN面积的最小值.

图文解析：

（1）与（2）属于常规题，通解通法，不做详细解析.答案如下：

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（3） (i)认真观看动态演示：（动画自动演示，不能点击）

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①N点（交点）的求法：

（下列仅提供两种计算方法（解法思路相同）

法一（标法——通法）：

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法二：由于直线与抛物线的解析式可化为：y=2x－2=2(x－1)与y=a(x^2)+ax+b =a(x^2)+ax－2a=a(x-1)(x+2).

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②MN长及取值范围的求法：

法一：（通法）

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法二：添加如下图所示的辅助线.

(注：本题为了图象展示美观，已进行了x/y轴的单位长度取不相同处理，不影响解题，下同).

法三（最快解法）：再次细心观察动态图：

       可以发现：MN的长随着a的值的增大而增大（思考一下：为什么？）.

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(ii) 先看动态演示：

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△QMN的面积求法：

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提示：先由M、Q点求出直线QM的解析式，再根据C的纵坐标与N点的纵坐标相同，求出C点坐标，再根据△QMN的面积＝△QNC的面积－△MNC的面积，…….

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提示：与法二类似，先求出G点坐标，…，再根据△QMN的面积＝△MNG的面积－△QNG的面积，…….

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提示：△QMN的面积＝梯形QNDC的面积－△MND的面积－△MCQ的面积，…….

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提示：先求出直线QN的解析式（用含a的代数式表示），再求出B的坐标，从而得到BM的长，然后根据△QMN的面积＝△BMN的面积+△BMQ的面积，…….

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反思：上述几种求面积的方法都是很常用的方法，其解题思路是“化斜为直”，“化一般为特殊”，利用点的坐标特点，得到相关的线段和距离，从而得到所要求的面积。

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求类似的取值范围问题，本公众号6月15日类似的文章已发布：“初高中衔接相关知识图文例析（4）——判别式中妙用”中的例3和例4”.（有兴趣的朋友可以点击"标题”查阅。）

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反思：上述的第一种解法通过建立一元二次方程模型，巧妙利用根的判别式进行突破.

3．抛物线与线段及计算说理

（2017•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L₁：y=ax²+b₁x+c₁（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L₂：y=ax²+b₂x+c₂（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．

（1）若a=﹣0.5，m=﹣1，求抛物线L₁，L₂的解析式；

（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；

（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

（1）简析：利用待定系数法，只需将A、C点代入y＝ax²+b₁x+c₁中，求得：

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（2）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0).

       先分别求出过A、C两点（或过B、C两点）且a=－1的抛物线解析式；分别为：L₁为y=﹣x²+（m﹣4）x+4m；L₂为y=﹣x²+（m+4）x﹣4m；

        进一步，通过配方，求得:顶点D、E的坐标分别为：

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如下图示，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

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当AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2.

分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2得：

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附：实际符合条件的图形如下：

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（3）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0).

抛物线的解析式分别为：

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如下图示，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

       假设AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2.

       分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2得：

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反思：数形结合思想是依托，“式的变形与计算”是关键.

4．方程、坐标系与相似、计算说理

（2017•台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x²﹣5x+2=0，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．

（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；

（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x²﹣5x+2=0的一个实数根；

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，b²﹣4ac≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m₁，n₁，m₂，n₂与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂）就是符合要求的一对固定点？

图文解析：

（1）简析：根据“第四步”的操作方法作出点D即可.如图所示，点D即为所求.

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（2）如下图示，不难得∠CAO＝∠BCD.由三角函数的定义知：tan∠CAO=OC/OA＝BD/CD=tan∠BCD，进而得出m:1=2:(5-m)，即m²﹣5m+2=0.所以m是方程x²﹣5x+2=0的实数根.

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（3）结合上述方程“x²﹣5x+2=0”的结构特点和(2)中的证明(m:1=2:(5-m))，可知：二次项的系数(A点的纵坐标)与常数项的积为B点的纵坐标，B点的横坐标为一次项系数与二次函数的商的相反数，对比方程ax²+bx+c=0（a≠0）可化为x²+(b/a)x+c/a=0，模仿研究小组作法可猜想，得：A（0，1），B（﹣b/a，c/a）或A（0，1/a），B(﹣b/a，c)等.

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（4）设P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂），如图示，

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x²﹣（m₁+m₂）x+m₁m₂+n₁n₂=0，

又∵ax²+bx+c=0，即x²+(b/a)x+c/a=0，

比较系数可得： 

m₁+m₂=﹣b/a，m₁m₂+n₁n₂= c/a．

同样对x₂(若存在)的解法也类似(略去).

所以，当m₁，n₁，m₂，n₂与a，b，c之间满足“m₁+m₂=b/a，m₁m₂+n₁n₂= c/a”的关系时，点P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂）就是符合要求的一对固定点.

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反思：解题关键是：过数结合图形，一元二次方程的解，锐角三角形的定义的综合应用

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-END-

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