函数图象与点、线段系列（1）|代几综合【压轴解析】

强烈推荐：中考系统复习

（视频解析与同步训练）

注：本系列内容选自本人已使用多年的中考系统复习讲义内容,共34课时（在下方4个链接中），从知识点复习（解读）到例习题的分析全程视频讲解，可作为即将参加中考的孩子提前复习使用，欢迎转发分享.

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请观看下面视频操作演示

函数图象与点、线段系列（1）

1．抛物线，线段与平移

（2017·上海）已知在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（2,2），对称轴是直线x=1，顶点为B.

（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；

（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，连接AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标.

图文解析：

（1）法一：依题意，得：

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法二：因抛物线过点A（2，2），且对称轴是直线x=1，根据抛物线的对称性，知：抛物线必过（0，2），所以c=2，再将A点坐标代入，可得b=2,…….

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（2）初中三角函数值的求法，必须依赖直角三角形，因此可以添加如下图的辅助线：

根据题意，不难得到：

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所以cot∠AMB＝m－2(m＞3)即为所求的∠AMB的余切值.

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（3）认真观察，动态演示抛物线的平移过程及满足OP＝OQ时的特殊情形.（动画自动演示，不可点击！）

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原抛物线y=－(x-1)²+3经过上下平移后顶点C落在x轴上，则C(1,0),其解析式为y=－(x-1)².

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由于P与Q为平移前后的对应点，所以它们的横坐标相同，如果OP＝OQ，则必有:点P与Q关于x轴对称，即它们的纵坐标互为相反数.

若设P（m,n）,则Q(m，－n),分别代入平移前后的解析式中，可得：

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反思：抓住平移前后抛物线解析式的点坐标特征，同时当满足OP＝OQ时，点P与Q的坐标的进一步特征，是解决本题的关键。

《尖子生之路》中考专项复习整册视频解析

拓展：第三问改为如下问题，思考一下如何解决？

（1）将该抛物线向上或向下平移，原抛物线上点A平移后的对应点为点D，如果OA=OD，求平移的抛物线解析式.

（2）将该抛物线向上或向下平移，原抛物线上点A平移后的对应点为点D，如果∠DBA=45°，求平移的抛物线解析式.

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（给出图形的部分，供参考）

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2．抛物线与新定义、相似，中点相关

（2017·河南）如图，直线y＝－(2/3)x+c与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－(4/3)x²+bx+c经过点A，B.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值.

图文解析：

(1)常规题，简析如下：

(2)观察动画(动画自动演示)

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在△BPN和△APM中，已有对顶角相等，而且∠PMA=90°，因此在动点变化过程中，只需符合△BPN中的一个内角为90°，即可满足以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似.

情形1.当∠PNB=90°时，亦即BN∥x轴时，如下图示：

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情形2.当∠PBN=90°时，如下图示：

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与直角相关的常用的辅助线多种，在平面直角坐标系中，常通过“斜化直”构造“K”型基本图，如下图示：

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在Rt△NCB中，tan∠2=CN：BC，在Rt△AOB中，tan∠1=OB：OA=2：3，同时不难证明∠1=∠2.所以有：

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(3)当M点在任意位置时，显然有：

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分三种情况：

当P为MN的中点时，如下图示：

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由“MN=2MP”得：

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3．抛物线与动点、三角函数，定点定值

（2017·山西）如图，抛物线

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E．连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t>0）．

（1）求直线BC的函数表达式．

（2）①直接写出P、D两点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）．

②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值．

（3）试探究在点P、Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．

图文解析：

(1)基本题，不做详解.简解如下：分别当y=0和x=0时，代入解析式，得到相应的x的值和y的值，从而得到点A、B和C的坐标分别为：

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设直线BC的解析式为y=kx+b,将B和C两点坐标代入，得到关于k、b的方程组，求出k、b的值，从而得到直线BC为：

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其中求P点坐标时，也可用相似.

最终答案如下：(注意符号)

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②当PQ=PD时，过P点作PH⊥QD于H，如下图示：

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(3)在坐标系中，经常通过“斜化直”进行转化，所以可添加如下图所示的辅助线，

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4．抛物线与直线、相似、最值

（2017·海南）抛物线y=ax²+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线y=0.6x+3 相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方.直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交与点M、N.

①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由；

②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2.是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

图文解析：

(1)将A、B两点坐标代入即可.答案为：

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(2)如下图示，设M(t，0)，则：

则PN=-0.6t²+4.2t.

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①如下图示：

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(注：本题解法多种，下面仅提供一种最常见的解法)

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通过联立抛物线与直线CD的解析式，不难得到：C(0，3)，D(7，7.2).

再将PN=-0.6t²+4.2t和C、D两点的横坐标代入，得到：

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所以当t=3.5时，△PCD的面积最大，且为1029/40.

②由于∠BMP=∠CQN=90°，所以当CQ:NQ=BM:PM或CQ:NQ=PM:BM时，两三角形相似。

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添加如下图如示的辅助线：

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5．抛物线、直线与对称最值

（2017•温州）如图，过抛物线y=0.25x²﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

图文解析：

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（1）常规题，简析如下：

法一：由题意A（﹣2，5），对称轴x=4，

(根据对称轴为直线x=－b/2a).

∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．

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法二：先求出A（﹣2，5），把y=5代入原解析式，得0.25x²﹣2x＝5，即x²﹣8x－20＝0，解得x₁=－2，x₂=10，∴B（10，5）．

（2）①认真观察动画（自动演示）

如下图示，当点P在运动时，根据对称的性质知，OD＝OC＝5（为定值），因此点D在以O为圆心OC为半径的圆上，所以当O、D、B共线时，BD的最小值为：

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②当点D在对称轴上时，如下图示：

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根据对称的性质，可添加如下图所示的辅助线；

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得到D（4，3）.P点坐标可通过：

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设PC=PD=t，在Rt△PDK中，

t²=（4﹣t）²+2²，解得t=2.5，

得P（2.5，5）.

最后，若设直线PD为y=kx+b，把B、P两点坐标代入，解得：k=-4/3，b=25/3.

-END-

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