函数图象与点、线段系列（2）|代几综合【压轴解析】

强烈推荐：中考系统复习

（视频解析与同步训练）

注：本系列内容选自本人已使用多年的中考系统复习讲义内容,共34课时（在下方4个链接中），从知识点复习（解读）到例习题的分析全程视频讲解，可作为即将参加中考的孩子提前复习使用，欢迎转发分享.

---

---

（点击上述，打开强大的搜索功能）

请观看下面视频操作演示

函数图象与点、线段系列（2）

6．抛物线与线段及计算说理

（2017•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L₁：y=ax²+b₁x+c₁（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L₂：y=ax²+b₂x+c₂（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．

（1）若a=﹣0.5，m=﹣1，求抛物线L₁，L₂的解析式；

（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；

（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

图文解析：

（1）简析：利用待定系数法，只需将A、C点代入y＝ax²+b₁x+c₁中，求得：

---

（2）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0).

先分别求出过A、C两点（或过B、C两点）且a=－1的抛物线解析式，分别为：

L₁为y=﹣x²+（m﹣4）x+4m；

L₂为y=﹣x²+（m+4）x﹣4m；

 通过配方，求得:顶点D、E的坐标分别为：

---

如下图示，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

---

当AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，

又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2.

分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，

由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2

得：

---

附：实际符合条件的图形如下：

---

（3）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0).

抛物线的解析式分别为：

---

如下图示，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

       假设AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2.

       分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2得：

---

---

反思：数形结合思想是依托，“式的变形与计算”是关键.

---

7．抛物线与直线、相似

（2017•宁波）如图，抛物线y=(1/4) x²+(1/4)x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，15/2）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

（1）求c的值及直线AC的函数表达式；

（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．

①求证：△APM∽△AON；

②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．

（1）将C（6，15/2）代入y=(1/4) x²+(1/4)x+c得c=﹣3，所以抛物线解析式为y=(1/4) x²+(1/4)x－3.

当y=0时，(1/4) x²+(1/4)x－3＝0，

解得x=﹣4或x=3，所以A（﹣4，0）.

再利用待定系数法可求得AC的解析式为y=（3/4）x+3.

---

（2）①如下图示：

求得B（0，－3）、D（0，3），

得到OB＝OD，又OA⊥BD，

所以AB＝AD，从而得到∠1＝∠2.

根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”和“对顶角相等”可得到∠3＝∠5.如下图示，

因此，△APM∽△AON.

②如下图示，

分别在Rt△AOB和Rt△AME中,由cos∠1＝AE/AM＝4/5＝cos∠2可得AM＝5/4×AE=5/4×(m+4)=5(m+4)/4，同时AP＝2m+4.

如下图示，由上一题知△APM∽△AON，

得AN：OA＝AM：AP，

进一步，得AN＝OA×AM/AP，将相关数据代入，

（显然本题用相似来解答也可）

---

反思：本题为二次函数背景下的几何问题的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识，综合性较强．同时最后一小题含式的化简计算（有一定的计算量）．

8．抛物线与点、线段，面积

（2017·甘肃张掖市）如图，已知二次函数y=ax²+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．

（1）求二次函数y=ax²+bx+4的表达式；

（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

【图文解析】

（1）简析：只需将点B、点C的坐标分别代入y=ax²+bx+4可得关于a、b的方程组，即可得到a、b的值。答案为：

y=1/4x²+3/2x+4.

（2）由于A（0，4）、B（－2，0），C（8，0），不难得到OA＝4，BC＝10，设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．如下图示，

---

法一：先求S_△ABN＝0.5×(n+2)×4＝2n+4,

 由于A、M、B三点共线，

所以S_△AMN：S_△ABN＝AM：AB.

另一方面由NM∥AC，

可得AM：AB＝（8－n）：10，

所以S_△AMN：S_△ABN＝（8－n）：10，

化简，得：

因﹣1/5＜0，当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大.

---

法二：由A（0，4）和C（8，0）先求出直线AC的解析式为y=－1/2x+4，再

由A（0，4）和B（－2，0）求出直线AC的解析式为y=2x+4.

       因为NM∥AC，所以可设直线MN的解析式为y=－1/2x+b，将点N（n，0）代入，1/2n+b＝0，解得b=1/2n，所以直线MN的解析式为y=－1/2x+1/2n＝－1/2（x－n）.如下图示：

---

所以，S_△AMN＝S_△ABN－S_△BMN

＝0.5×BN×OA－0.5×BN×MN

＝0.5×BN×(OA－MN)

＝0.5(n+2)[4－(2n+4)/5]

＝……=－1/5(n－5)²+5. 下同.

---

---

【反思】虽然第二种方法较繁，但两种解法都是常用的解题思路.

（3）由（2）得N（3，0），此时N为BC边的中点，如下图示：

---

由NM∥AC可得：AM：BM＝CN：BN＝1：1，即AM＝BM.

在Rt△AOB中，由AM＝BM可得，OM＝1/2AB.如下图示：

---

分别在Rt△AOB和Rt△AOC中，由勾股定理，可得AB＝2×根号5，AC＝4×根号5，所以AB＝1/2AC。如下图示：

（当然也可用相似来证AB＝1/2AC）.

所以OM＝1/4AC.

相关文章

-END-

往期推荐

中考压轴 解析系列	20中考	19中考	18中考
17中考1	17中考2	专项训练
质检压轴 解析系列	20九下	19九下	18九下
17九下	19九上	18九上
推荐:中考数学压轴按知识点详细分类汇总V1.0
图书其他	画板学习	预习超前	例题教学

关注本公众号

相关公众号

点击阅读原文，阅读更多内容！