量子阻挫的“弦音”

Original 拨弦人量子材料QuantumMaterials 2023-03-20

对那些 2000 年初毕业的物理人来说，《超弦演义》毫无疑问是当时非常流行的一本科普读物。李淼老师的这本著作，不仅对超弦理论有很好的图像化描述，同时也于其中夹杂了对中国超弦理论发展的回顾和思考。不同于粒子物理学家，弦论学家将粒子进一步分解为“弦”的无限薄的一维物体。这些一维物体不同的振动模式，对应着基本粒子的属性——质量、电荷等。而粒子间相互作用，则通过弦间的分合来实现。这里，需要指出，因为弦的长度比普朗克长度还小，实验验证“弦”的存在几乎不可能。

与此同时，凝聚态物理的演生论认为：相互作用的那些基本单元，它们集合所形成的大实体会拥有那些基本单元所不具有的特性。可以简单地认为：物理系统经常拿来作为公理用的“线性叠加原理”在这里不适用了。在量子多体系统中，物理人根据这一思想的指导，还真的找到了许多演生 (emergent) 的点状拓扑激发。这些激发中，有些与标准模型中的基本粒子相对应。

图 1. 学生坐座位类比一维反铁磁链上的拓扑激发 (涂色区域)。

那么，“弦”是否也能通过演生来实现呢？想像一个由大量“弦”组成的系统：由于弦是一维的，一维弦具有比零维的粒子多得多的自由度，它们既有内部的振动，也能相互作用。由此，弦演生所带来的物理，也将比粒子演生带来的物理丰富得多。笔者们作为理论物理热爱者，基于各种机缘巧合，进入了量子多体物理的领域。然而，我们却在无心之中，机缘巧合地拨动了量子阻挫这把“妙琴”，聆听到美妙的“弦音”。

故事的主人公，是非常著名的伊辛模型，其哈密顿量为：

对于铁磁相互作用 J < 0，最低能量要求自旋成平行排列；而对反铁磁相互作用 J > 0，自旋则反向排列；由此形成了我们熟知的自旋构型。

不过，实际体系，未必如此理想化。为说明简单起见，考虑一个卡通系统：类比于当下疫情，如果在幼儿园里，小朋友为了保证社交距离，需要隔位就坐，那么就会形成类似于一维反铁磁序的结构。然而，如图 1 所示，如果一开始某位同学坐错了位置，产生了两个空位 (橘色空位)。如果想要回到原来的坐序，就需要很多同学集体挪动。这就表明，此类局域结构 (点缺陷) 具有拓扑特性，即需要通过全局构型的改变才可以使其消失或产生。

在磁性系统里面，这样的点拓扑激发，被称为自旋子激发 (spinon)。

图 2. 左侧图表示了正方晶格如何通过局域能量最低实现全局的反铁磁序。右侧图表示具有几何阻挫的三角晶格上，局域能量最低导致基态的宏观简并性。例如，圆圈标记的自旋可以在不破坏三角形规则的基础上任意选择方向。

维度更高时，拓扑激发模式会变得更加丰富多彩。除了维度提高带来的自由度外，几何阻挫的存在也对激发贡献卓著。所谓几何阻挫，是系统无法通过固定自旋排布来实现局域能量最低的现象。例如，如图 2 所示，对正方晶格，反铁磁相互作用会使每一个连键上自旋反平行排列，点阵因此进入到总简并度为 2 的反铁磁态。与其不同的是，对三角晶格而言，三角形上的三个自旋，无法在每个边上形成反平行排列。因此，局域能量最小的要求是两个反铁磁加一个铁磁排列。这个约束，称为三角约束，对应于自旋冰材料中的冰规则 (ice rule) [1]。满足三角约束的构型并不唯一，如图 2 右侧所示，圆圈标记的位置处，自旋可上下任意选择。瓦尼尔在 1950 年严格求解出这一体系的基态简并度，对应的平均熵约为 0.3383R [2]。因此，三角晶格上，伊辛模型的基态是完全无序的，具有宏观简并性。

有趣的是，这样的宏观简并性，可以被横向磁场 (-ΔS^x)破坏掉。所谓横场，可以理解为量子涨落，由此量子效应就偷偷摸摸进来了。可以想象，对应于图 2(右) 中圆圈标记的位置，在横场影响下，会变成自旋向上与向下的叠加态。如此，点阵在整体上丧失了平移对称性，系统进入到被称为时钟态 (clock phase) 的量子相。

这种在无序的简并基态中诱发出有序量子相的机制，被称为 order from disorder。近期的一些有关稀土化合物的工作，再次带动了对磁性模型的深入研究：例如，对铥镁镓氧 (TmMgGaO₄, TMGO) 的系列研究 [3, 4]，充分揭示了描述其低能激发的有效模型，必须是一个次近邻相互作用 Jʹ 不能忽略的、自旋 1/2 三角晶格横场伊辛模型。然而，笔者利用最先进的数值计算方法之一——量子蒙特卡洛方法 (详见《量子材料》公众号之前的文章《瞧！这些发明算法的人》) (点击阅读)，对其动力学谱函数进行了数值模拟。模拟揭示，在降低横场后，原来的能谱分成了上下两支 (如图 3c)。这一无心之举，却拨动了量子的“弦音”。

图 3. 不同横场 Δ 下的能谱。稀土材料 TMGO 对应的参数：(a) Δ = 0.54、Jʹ = 0.05；(b) Δ = 0.35、Jʹ = 0.035；(c) Δ = 0.20、Jʹ = 0.02。随着横场降低，高、低能模式变得清晰分明。

图 4. 左侧为条纹相 (stripe phase) 的自旋构型。中间是单个弦激发的自旋构型。右侧是横场导致的弦的量子涨落。

行文至此，估计绝大多数读者几乎要愤然离场了，因为笔者就好像说书人一般，卖了很多关子，却不把最精彩的说出来。切勿着急，且听笔者讲讲“弦”在何处。

事实上，在次近邻影响下，系统的简并性被完全“冻”住，其基态变成了图 4(左) 所示的条纹相 (stripe phase)。之后，如果把右侧自旋全部反向，就会发现构型并没有破坏三角约束。如图 4(中) 所示，两侧不同的构型中间出现了一条弦。而图 4(右) 表明横场会使弦内部的折角发生扭动，进而改变弦的形状。这就是说，量子涨落改变了弦的形状，使其成为——量子弦！

量子弦振动对应的能量尺度，大概是在横场强度 Δ 附近，也就是低能的那一支。那么，高能区中接近伊辛反铁磁相互作用的那一支，又是来自于何种激发呢？从图 5(左) 可以看出，这一支对应于破坏三角规则的激发形式。这样的点缺陷，是二维的自旋子激发，呈现出分数化的特性，必须成对出现。并且，这一对自旋子，还需要通过量子弦连接在一起。行文到此，我们终于探寻到谱线中分属高能、低能分支的物理源头。貌似故事到此就应结束了，然而，“弦音”却比想象的更加丰富。

对一根“弦”来说，最直接的运动模式，便是内部的振动。这样的振动模式，可以被定量化描述。如图 6(左) 所示，可以将弦的左 (右) 向映射为有效“自旋”上 (下)，则横场导致的弦折角扭动就对应于近邻有效“自旋”的交换作用。那么很自然地，弦的内部振动便可以用一维 XY 相互作用的自旋模型来描述 [5, 6]。该模型可以通过 Jordan – Wigner 变换，映射到无相互作用的费米子模型，从而严格求解。其激发谱，是以正弦曲线为包络线的连续谱。从图 6(右) 可以看出，量子弦的振动模式，确实与 XY 模型的模式 (虚线) 保持一致。这也同时表明，量子弦的内部振动模式也伴随着分数化 (弦折角乃一维拓扑缺陷上的点缺陷，妙！)。

图 5. 左侧为自旋子激发对应的自旋构型；右侧是重新回顾弱横场下的谱，其中高能模式对应自旋子分支 (spinon branch)，而低能模式则是弦分支 (string branch)。

图 6. 左侧为量子弦和一维自旋链的映射关系；右侧是与弦方向平行的激发谱，其中虚线是自旋链上的上下包络线。

在弦理论中，如果跳出普朗克长度，则每个弦都是一个基本粒子。同样地，由于弦之间不能重叠，多条弦的出现将导致彼此限制振动的空间、促使体系能量相应上升、诱发弦与弦之间产生有效的排斥作用。正如图 7(左) 所示，二维系统中多弦的集体行为，就变成了准长程相互作用下的一维费米子系统，意味着可能会出现量子弦的 Luttinger 液体集体激发模式。奇妙的是，如图 7 所示，能谱结果确实与 Luttinger 液体的能谱非常相似。这种一维拓扑激发的集体行为，不由得让人感叹演生论的丰富内涵。

回归实验本身，通过算符定义，我们可以成功剥离量子弦和自旋子的贡献。如图 8 所示，对 TMGO 中对应的能谱，自旋子和量子弦模式在很多地方已经混合成一支，看不分明了。这也就解释了实验中探测不到量子弦相关激发模式的结果。虽然在实验上无法区分，但通过数值计算可以看到，在某些能级相同的区域，激发中既有自旋子的贡献，也有量子弦的贡献。点状拓扑激发——如自旋子、任意子、马拉约纳 (Majorana) 费米子等——的演生，在物理学的各个领域产生了重大影响。毫无疑问，高维的演生激发，则具有更为丰富的内部自由度以及相互作用形式。这把由量子“弦”组成的“琴”，正待物理人弹奏出动听的旋律。

最后，笔者还有一些感慨：物理世界丰富多彩，物理人从事的方向也各不相同，但物理学大道至简、九九归一的朴素精神是普适的。当年，众多大神由高能物理初转凝聚态领域时，纷纷将很多新思想引入进来，带来凝聚态物理的兴起。笔者也许没有那样的功底和能力，但愿在纷繁复杂的凝聚态领域内，能找到一些精简的理论、描述普适的规律。

我们的这些观点和讨论，近期发表在《npj Quantum Materials》。有兴趣的朋友，请移步拙文 [7]，关注其中更多细节。

图 7. 左侧为多条量子弦，其可以等效看作排斥相互作用的一维费米子；中间是垂直于弦方向的能谱，可以看出其与右侧 Luttinger 液体有非常相似的能谱结构。

图 8. (a) 稀土材料 TMGO 对应参数下的能谱，(b) 破坏三角形规则的自旋子贡献和(c) 不破坏三角形规则的量子弦贡献。

参考文献

[1] Castelnovo, C., Moessner, R. and Sondhi, S. L., Magnetic monopoles in spin ice, Nature 451, 42 - 45 (2008)

[2] Wannier, G. H., Antiferromagnetism, the triangular Ising net, Phys. Rev. 79, 357 (1950).

[3] Shen, Y. et al., Intertwined dipolar and multipolar order in the triangular-lattice magnet TmMgGaO₄, Nat. Commun. 10, 4530 (2019)

[4] Li, H. et al., Kosterlitz-Thouless melting of magnetic order in the triangular quantum Ising material TmMgGaO₄, Nat. Commun. 11, 1111 (2020).

[5] Zhang, X.-F. and Eggert, S., Chiral edge states and fractional charge separation in a system of interacting Bosons on a kagome lattice, Phys. Rev. Lett. 111, 147201 (2013).

[6] Zhang, X.-F., Hu, S., Pelster, A., and Eggert, S., Quantum domain walls induce incommensurate supersolid phase on the anisotropic triangular lattice, Phys. Rev. Lett. 117, 193201 (2016)

[7] Zhou, Z., Liu, C., Yan, Z., Chen Y. and Zhang X.-F., Quantum dynamics of topological strings in a frustrated Ising antiferromagnet, npj Quantum Materials 7, 60 (2022) [https://www.nature.com/articles/s41535-022-00465-3]

开弦我世界，一枝可成琴

备注：

(1) 笔者：周正、刘长乐、严正、陈焱、张学锋。

(2) 这几位笔者，每一位都是理论物理个体，其自身的维度还远不止一维。现在，这些人聚拢一处，形成高维的“弦”聚体，那岂不是天地都帅翻了？！这也是演生物理的意义。

(3) 置于文尾的书法“开弦我世界，一枝可成琴”(也是封面)，乃青年书法家赵韬与作者之一张学锋于某日、堯寶齋中畅谈物理，即兴泼墨所作。

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