人教版 | 数学八年级（下）17.1【勾股定理】微课精读+知识点习题

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第十七章 勾股定理

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17.1 勾股定理

图文精讲+知识点习题

学习目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力.

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知识点

一、勾股定理

 勾股定理：

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2

（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）

1.成立条件：

在直角三角形中；

2.公式变形:

3.作用：

已知直角三角形任意两边长， 求第三边长.

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.

图1-1

二、勾股定理的证明 

【证法】（赵爽证明）

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图文解读

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同步练习

1．勾股定理反映了直角三角形________之间的数量关系．利用勾股定理可由直角三角形的两边求第三边的长，还可以解决一些实际问题．当运用勾股定理解决实际问题时，要善于从实际问题中抽象出直角三角形解题，找准了直角，找对了斜边和直角边，问题即可迎刃而解．

2．小明要用铁杆制作一个直角三角形天线，要求最短边的长为8cm，最长边的长为17cm，则小明需要铁杆的总长度为(    )

A．42cm    B．40cm    C．35cm    D．25cm

3．如图，为求出湖两岸A、B两点之间的距离，一个观测者在点C处设桩，使ΔABC恰好为直角三角形，且∠B＝90°．若测得AC＝30米，BC＝18米，则A、B两点之间的距离为(    )

A．18米    B．20米    C．22米    D．24米

4．如图，某人要横渡一条宽480米的河，由于受水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200米，则他在河中实际游了________米．

5．如图，在一次强烈台风中，一棵大树于离地面2.5m处折断倒下，树顶落在离树根6m处，则大树在折断之前高________m．

6．如图，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离．已测得AC＝30m，BC＝70m，∠CAB＝120°，求A、B两个凉亭之间的距离．

7．如图，一个高1.5m，宽3.6m的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是(    )

A．3.8m    B．3.9m    C．4m    D．4.4m

8．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水机站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在A、B之间建一条水管，则水管AB的长为(    )

A．40m    B．45m    C．50m    D．56m

9．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少需要飞行________米．

10．如图，学校内有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．

11．如图，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺设地毯，若每平方米地毯50元，则铺设地毯至少需要花费________元．

(1)求OB的长；

(2)当AA′＝1时，求BB′的长．

13．某园艺公司对一块直角三角形花圃进行改造，测得两直角边长分别为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩建部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后等腰三角形花圃的周长．

14．如图，小玉和她的同学荡秋千，秋千在平衡位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB₁的位置时，下端B₁距平衡位置的水平距离EB₁为2.4米，距地面1.4米．求秋千AB的长．

答案：

1．三边

2．B

3．D

4．520

5．9

∴AB＝BD－AD＝65－15＝50(m)．∴A、B两个凉亭之间的距离为50m

7．B

8．A

9．10

10．4

11．1750

14．设秋千AB的长为x米．在RtΔAEB₁中，AE＝(x－0.8)米，EB₁＝2.4米，AB₁＝x米．由勾股定理，得(x－0.8)²＋2.4²＝x²，解得x＝4．∴秋千AB的长为4米

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