邹生书——数学竞赛中无理函数最值问题的十种求法

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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数学竞赛中无理函数最值问题的十种求法

435200湖北省阳新县高级中学       邹生书 

二次根号下含有自变量的无理函数的最值或值域问题在高中数学竞赛中屡见不鲜，题型丰富多彩解法灵活多变，现以竞赛题为例谈谈这类问题的常见解法，供读者参考。

      1、换元后转化为二次函数求解

点评 构造一元二次方程，用判别式并结合其它关系求解，但要注意等号能否成立。

4、用y表示x然后利用定义域和不等关系求解

点评如果能从函数关系式中用y来表示x，则可利用定义域或其它关系列不等式求函数值域。

5、用函数单调性求解

例8（2015年江西省预赛试题）

点评用函数的单调性求函数最值或值域是一种常见方法，本解法是运用单调函数的性质来判断函数的单调性，本题还可用导数来判断函数的单调性，读者可尝试解决。

6、用均值不等式求解

例9（2012年湖北省高中数学竞赛题）

点评这里二次根号下是一个分式函数，象这样分子分母分别为一次函数和二次函数时，通过换元变形后用均值不等式求解效果较好。

 7、利用柯西不等式求最值

点评本解法根据式子的轮换对称性通过“不妨设”去掉绝对值，然后用柯西不等式求得最大值。

8、构造几何模型求解

例11(2016年河北省高三年级数学竞赛第5题)求函数

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秋  色

秋风吹过水无波，浪濯残蓬涌运河。

弦月朦胧清朗照，未知光景怎嗟哦。

      对人性不要失望，而要懂得体谅。对个性不要固执，而要能够改变。对本性不要修饰，而要恢复原来。想不如做，说不如行。善观于己者，必善观于人。话宜中肯，不宜好；人宜中道，不宜强。灿烂只是短暂，平淡方能长久。静静观察变化，渐渐有所体悟。有了定位，才有了方向；有了实力，才有了希望。

（以上诗文由汪跃中老先生提供）