罗小明——有趣的“斯洛克满分杆不等式”

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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有趣的“斯洛克满分杆不等式”

湖南益阳市牌口学校    罗小明

本人于近期在“益阳市数学会微信研讨群”里发布了几道有关正切求和不等式的原创证明题，吸引了一些数学同行的积极研讨.现将问题讨论情况进行归纳整理，以飨读者.

问题1：求证：tan1°+tan2°+…+tan 43°+tan 44°＞44(√2-1).

问题2：求证：tan1°+tan2°+…+tan 88°+tan 89°＞89.

问题3：求证：cot1°+cot 2°+…+cot 88°+cot 89°＞89.

注：利用互余关系，显然问题2与问题3等价.

先请看对于问题1的探究：

证法一：利用琴生（Jensen）不等式

（益阳市牌口学校  罗小明  提供）

证明：∵正切函数tanx为下凸函数，

∴由琴生（Jensen）不等式可得：【邹生书数学】

说明：①通过上述证明之后，我们可以得到一个加强不等式为：

求证：tan1°+tan2°+…+tan43°+tan44°＞19.

②若利用均值不等式去证明问题2或问题3将会遇到困难，因此下凸函数应用“琴生（Jensen）不等式”来证明是非常方便的.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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