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来,做几道古代经典数学题

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最近,“数学”很红。先是中国队时隔4年再登国际数学奥林匹克竞赛冠军宝座,且6名队员全部摘得金牌,这赢得网友无数的喝彩声;二是科技部、教育部、中科院、自然科学基金委四部门共同制定《关于加强数学科学研究工作方案》。
除了高考期间网民对数学科目的调侃之外,这是近年来“数学”被谈论频次最高的一次了。
数学,究竟有何魔力?中国古代的数学又是何种情况?本期“史说”,将带你领略古代中国数学的魅力。


 多古老,多先进 


这不是中国队第一次登上国际数学奥林匹克竞赛冠军宝座。这项赛事自1959年开办以来,至今走过整整60年。我国第一次参加国际数学奥林匹克是在1985年,但已夺得20个冠军。
这次中国队再次夺冠后,很多网友兴奋之余都提到,中国的数学在古代就曾领先国外不少段位。
的确,从远古算起,直到14世纪,中国的数学一直走在世界的前列。比方说,十进制,是中国最早发明的,这是当时世界上最简便的计算工具,比巴比伦的六十进位方便。清华大学保存的一批古代竹简中,还保存着人类最早的十进制计算器:算表。
“算表”由21支简组成,简的形制与其他各简明显不同。简面上有红色的横贯栏线,使全篇成为整齐的格状,每格中都填有数字。据媒体报道,这个数学表格比九九乘法表厉害,可以进行乘法除法乘方开方的计算。比如,要计算81乘以72 ,就把80和1两个位置的丝带往下拉,70和2两个位置的丝带往左拉,形成四个交叉点,四个交叉点上的数字加起来,就是乘法的结果。
数学家吴文俊曾研究过中国古代数学,他发现,除了广为人知的勾股定理比外国早了5个世纪之外,中国古代数学中,还藏有世界最早的几何学、最早的方程组、最古老的矩阵……
王渝生在《中国算学史》中写到,在中国古代数学(中国古代称算学)中,还有开平方,开立方,解线性方程组的“遍乘直除”消元法,计算圆周率的“割圆术”,解高次方程的“增乘开方法”,解一次同余式的“大衍求一术”等等,这些都比国外领先一个世纪甚至几个世纪。
从殷商时期的萌芽,到秦汉时期筹算体系的建立,再到南北朝时期的发展,直至隋唐时期,中国古代数学到达一个高峰。然而,到了1370年,明太祖朱元璋规定八股文为科举考试的主要文体,数学内容体现不到科举考试的内容里,自明初起300余年内中国传统数学研究呈现全面衰退态势。
宋元数学家著作中借用未知数解方程式的方法,到了清朝,因长期失传,一度被认为是无人能解的“天书”。直到清代数学家梅瑴成引进西方代数学《借根方》,对照之下,才恍然大悟。
 

 数学科举考试 


现在一提起古人的学习内容,就是四书五经之类,其实这是种误解,数学也一度是古代学子的必修科目。
西周时期,数学成了“六艺”之一,是学校教学的必修必考科目之一。那时候的学校,学生全是官家子弟,学习的目的也是专门致力于解决实际问题,数学要解决的问题,包括土地丈量、谷仓容积的计算、堤坝和河渠的修建、税收等等。
数学的运用当然不止于此。小到历书的修订、日食月食时间的推定,大到隋炀帝修长城、开运河,武则天修建150米高的明堂供养通天大佛,这都需要数学家的精确计量。
在吴文俊眼里,中国古代数学就是一部算法大全。从“算表”的发现,我们也能看出,古代中国看重的正是数学的实用性,而非作为一门纯粹数学来研究。
在秦汉时期,“六年,教之数与方名”,教育从娃娃开始抓起,6岁就开始学数学了。到了隋朝时期,朝廷甚至成立了“数学专科学校”,配备博士两人,助教两人,这个学校每一届收学生80人。
“专科学校”不是隋朝时就有的。东汉灵帝光和元年,就曾设立“鸿都门学”(因地址在洛阳鸿都门而得名),这是一所文学、艺术专科学校。是宦官们一心想与皇亲贵胄学校对着干才设立的。至于“数学专科学校”,北魏就曾设立,前后存在50年以上。
但是到了隋朝,办数学专科学校成为一项制度。
然而,隋朝很短,很快就翻篇了。到了唐朝,唐初延用隋代的科举制度,算学仍被作为国子监设立的六科之一,称为明算科,但招生人数缩减到30人。学生入学资格为“文武官八品以下及庶人之子”。也就是说,普通人的孩子也可以进入学校学习了,而且是免费,不用交给学校钱,但要交给老师见面礼(束脩)。
唐朝的“数学专科学校”宽进严出,入学时不考试,由主管机关按家庭出身选送。但是入学后,要经常考试,有旬试、月试、季试、岁试。岁试就是年终考试。岁试三次不及格(下等),就会被逐出校门,回家去吧。
既然是学校,就要有教材。公元656年,风水大师李淳风等人奉敕注释并校订了十部数学书作为教科书,合称为“算经十书”。这些书都是历代数学家们的著作,直到清朝都在使用。其中大家熟悉的是《孙子算经》,“鸡兔同笼”问题就出自该书。其余如《张丘建算经》,讲测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题。涉及最大公约数、最小公倍数、等差数列和不定方程等现代数学知识;《九章算术》包含计算土地面积、食品交换、社会福利、税收、罚款、土木工程等。书中包含了平面几何面积算法、体积计算公式、线性方程组问题的解法等等。
学生入学后,学制七年。七年期满,没有中途考试不及格被劝退的学生,还要参加一次毕业考试,及格了才能送礼部直接参加明算科的科举考试。考得好,授从九品下的官职。
这大概是数学在中国历史上最风光的时候了。
但因为皇帝本人对算学的看法不一,算学——这所数学专科学校时兴时废,再加上明算科及第后待遇不如明经、进士等科学生的好,故向来不为时人看重,所以应试的人并不多,至晚唐时期明算科考试渐渐停止。
 

清朝还有一位女数学家  


在中国古代,数学家并不是一份专职职业。有的数学家出身于或官宦或商人之家,不愁吃穿,如珠算大师程大位,他本人就是一名徽商;有的数学家,有一份工作养家糊口。当然,也有部分数学家穷困潦倒,但还是苦心钻研数学,他们靠的是热爱数学,清朝数学家华蘅芳,学不会八股文章,读书每天不过四行,但看到算数题,两眼放光。
著名文学家的元好问的好友李冶也是一位著名数学家。金元交战、社会动荡之际,他弃官隐居山西,常常吃不饱穿不暖。但在此时他开始研究数学,因为他觉得“数术虽居六艺之末,而施之人事,则最为切务”。
李冶的数学研究是以“天元术”为主攻方向的。所谓天元术,就是利用未知数列方程的一般方法,与现代代数学中列方程的方法基本一致。李冶研究天元术是在1230年前后,欧洲直到16世纪后半叶,才有数学家引进字母符号代表方程中的未知数,这比天元术迟了三百多年。
李冶在生前完成了他的数学名著《测圆海镜》,近年来有法国人研究此书获得博士学位的。他还曾写了部普及天元术的著作——《益古演段》,被比利时数学家译成外文,传播到国外。
清朝还有一位数学家汪莱,比李冶还要贫困,常常要典当才能维持生活,甚至挖草根来吃。他早年乡试落第,20岁时离家赴苏州设馆谋生。在苏州,他遇见了数学家焦循,两人结为好友。焦循有诗句“邂逅臭味合,情谊因投胶”,就说的他。另外,还有一位叫李锐的,他们三个人号称“谈天三友”,常常讨论数学问题。汪莱后来花费时间,写出数学名著《衡斋算学》,书中涉及三次方程等数学问题。
明清之际还有一位女数学家王贞仪,也是自学成才。
王贞仪原籍安徽天长县,祖父曾任丰城知县和宣化知府,精通历算。“贞仪幼侍大父惺斋公,公细训以诸算法。即长,学历算,复读家藏诸历算善本十余种,潜心稽究十余年。”
时人对王贞仪的做派有些非议。但王贞仪认为,学问又不分性别。依然研究数学、天文、医学等科学知识。写出了《术算简存》、《筹算易知》等数学方面的著作。
但这样的研究终究是民间的、个人化的。从大趋势看,中国传统数学终究是败落了。而正是在明清之际,西方数学异军突起,发展出了一个又一个高峰。与古代中国的应用数学不同,西方数学走的是纯粹数学之路。到了1866年,清政府再次办起算学馆,中国传统数学才在绝境中复苏,并逐渐融入到世界数学发展的潮流。


主要资料来源:
中国算学史  王渝生 上海人民出版社  2006.10 
中国古代科技文献史  丁海斌  2015
中国传统文化 朱岚 2013 
清代女科学家王贞仪  李敏  中国科技史料  1997年02期
 
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来做几道经典古代数学题
1.笼子里有鸡和兔子。从上面数一共有35个头,从下面数一共有94只脚,问一共有多少只鸡,多少只兔子?【答案:鸡有23只,兔有12只】
2.公鸡每只值5文钱,母鸡每只值3文钱,而3只小鸡只值1文钱。现在用100文钱买100只鸡,问这100只鸡中,公鸡、母鸡和鸡各有多少只?
【答案:4,18,78;8,11,81;12,4,84】
3.今有环山道路一周长325里,甲乙丙3人环山步行,已知他们每天分别能步行150、120、90里,如果步行不间断,问从同一起点出发,多少天后再相遇于出发点?
【答案:10又5/6】
4.大家凑钱买一件物品,每个人出8钱还余3钱;每个人出7钱就还差4钱,文人数、物价各多少?
【答案:7人,53钱】
5.有一座正方形城池,不知道面积大小,四个方向都是从城墙中间开门,出北门20步有一棵树,出南门14步,折而向西行1775步能看到树,问这座城池边长多少?
【答案:250步】

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