高中数学新授课课堂实录：正弦函数（视频）及教学设计

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知识点：

1、正弦函数图象的作法：

（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；

（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。

注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。

2、正弦函数的性质

（1）定义域为，值域为；

（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。函数的最小正周期是；

（3）奇偶性：奇函数；

（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。

3、周期函数

函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。

4、关于函数的图象和性质

（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；

（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；

（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。

5、正弦型图象的变换方法

（1）先平移后伸缩

的图象    的图象

的图象

的图象

的图象。

（2）先伸缩后平移

的图象的图象

的图象

的图象

的图象。

视频教学：

练习：

例1：已知sin(q+p)>0，cos(q-p)>0，则下列不等关系中必定成立的是______。

A. tan<cot

B. tan>cot

C. sin<cos

D. sin>cos

分析：由正弦、余弦函数图象可以确定出的取值范围，进而可求。求出的范围后，也可以根据正弦、余弦、正切、余切函数图象的特点比较大小。

解答：由已知得 -sinq>0且 -cosq>0，即sinq<0和cosq<0同时成立，

则2kp+p<q<2kp+，kÎZ，于是kp+<<kp+，kÎZ，此时必有tan<-1，

-1<cot<0，即tan<cot，所以答案为A。

例2：求下列函数的最小正周期。

（1）；

（2）；

（3）。

分析：利用函数周期性的定义和最小正周期的概念来解题。，的最小正周期是；的最小正周期是。

解答：（1），最小正周期。

（2），最小正周期。

（3），最小正周期。

例3：求函数的值域。

分析：解此题的关键是统一函数的名，然后利用换元法将其视为二次函数求解。在做题时，有时会出现形如y=asin²x+bcosx+c型的函数，其实质同本例的情况一样，特点是式中同时含有sinx与cosx，且其中一个是二次，另一个是一次，处理方法是先应用sin²x+cos²x=1对原式进行变形，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，将其转化成二次函数来求解。即设，先化为二次函数，再求其在闭区间上的最值。

解答：原式化为

。

令，则，由二次函数图象可知，当时，；当时，。

故所求函数的值域为。

例4：试判断下列各函数的奇偶性。

（1）      （2） 

分析：函数具有奇偶性，则其定义域在数轴上关于原点对称，所以判定函数的奇偶性时，应首先判断函数的定义域是否关于原点对称。在解答这道题时，也可以先化简再判断奇偶性，但在化简的过程中需要注意等价性，否则就可能会出错。

解答：⑴定义域为，k∈Z，

且有，

所以函数为偶函数。

⑵ 定义域为R，且有

，所以函数是奇函数。

例5：已知函数=Asin(w x+j)+k (其中A>0，w>0，0<j<2p)一个周期的图象上有最高点(，3)和最低点(，-5)，则=。

分析：根据已知所给的点的信息可列出两个方程，再由正弦型函数的图象特点，结合图象变换的规律可求解出各个变量的值。题目中给出的最高点与最低点确定了振幅A与竖直方向的平移量k，这是本题的突破口。求的一般方法是找到一个已知点，然后将其坐标代入即可。但当已知点不是最高点或最低点时，要特别注意应由该点所在区间的单调性来确定的取值。

解答：由已知可得k=-1，A=4，函数的最小正周期T有=，则T=p，

=p，w=2，并有2´+j=，解得j =，所以=4sin(2x+)-1。

例6：如何变换的图象可得到函数的图象？

分析：应先通过诱导公式将其转化为同名三角函数。无论哪种变换都是针对字母而言的。例如将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是，而不是，把的图象的横坐标缩小为原来的，得到的函数图象的解析式是而不是。

解答：，

在中以代替，有。

根据题意，有，得。

所以将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象。

例7：（1）直线（a为常数）与正切曲线相交的相邻两点间的距离是                   。

（2）设函数，若对任意，都有成立，则的最小值是                   。

（3）为了使函数在区间上至少出现50次最大值，则的最小值是                 。

分析：对于一些没有直接指出三角函数最小正周期的问题，解题的关键是正确理解题意，通过运用数形结合的方法，准确找出隐含的最小正周期的个数，将问题化归为我们熟悉的正弦函数、余弦函数及正切函数的最小正周期问题加以解决。因此，正确理解题意，进行等价转化是解题的关键。

函数、

的最小正周期公式是，函数的最小正周期公式。结合图形进行分析，对正确理解题意有着至关重要的作用。

解答：（1）由正切曲线的图象可知，直线（a为常数）与正切曲线相交的相邻两点间的距离恰好就是函数的最小正周期，为。

（2）由正弦曲线的图象可知，、分别是函数的最小值、最大值，的最小值就是相邻两点间最小值、最大值横坐标之间的距离，等于函数的个周期，故的最小值。

（3）∵函数在区间上至少出现50次最大值，∴在区间上至少含有个周期。∴，得，故的最小值是。

例8：求函数的值域并指出它的单调递增区间。

分析：根据三角函数的周期性可知只需对自变量区间[0，2p]上的函数性质加以研究即可，再由反三角函数的性质可知应按自变量Î[0，]，[，p]，[p，]，[，2p]四种不同的情形来求解。本题综合考查了三角函数与反三角函数的定义域、值域、单调性问题。值得注意的是虽然，，但两个式子中自变量的取值范围却不同。

解答：

， 所以，是以2p为周期的周期函数。

若，则，

若，则，；

若，则，，

；

   若，则，

。

函数的图象如图所示，所以函数的值域是，它在上严格单调递增，在上严格单调递减。

课件：

教案：

一、教材地位和作用

本节课的内容是选自上海教育出版社出版的高中一年级第二学期（试用本）中第六章《三角函数》第一节。三角函数是把已经学习过的三角比的知识和函数知识结合起来，是刻画生活中周期现象问题的典型的函数模型，在高中数学知识体系中占有十分重要的地位。本节课作为《三角函数》开篇的第一课时，主要解决了正弦、余弦函数的定义和其图像的画法问题，为后面更好地学习三角函数的性质打下牢固的基础。

二、教学目标分析

教学目标:

1．掌握正弦函数和余弦函数的概念。

2．学会利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在上的图像的方法；并正确运用五点法作出正弦函数在上的大致图像。

3．利用诱导公式，通过图像平移作出余弦函数的图像。

4．进一步形成数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点:

重点：五点法作出正弦函数在上的大致图像；通过图像平移作出余弦函数的图像。

难点：利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在上的图像。

三、教学问题诊断

高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角比知识，就要求学生有较高的理解和综合的能力。关于作图方面，在前面函数的章节中，学生已经学习了画函数图像的一些方法，如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像。基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，会有以下的一些困难：

1．概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解正弦函数和余弦函数。

2．利用单位圆的正弦线作出正弦函数在上的图像。

3．正确掌握五点法的作图步骤与要求。

4．按照正弦函数的作图方法，学生自己解决画余弦函数图像的一些方法。

四、教学特色

1．引例的设计意图

学生在物理学中已学习过圆周运动，创设摩天轮情境更能贴近学生实际，在解决这一问题的过程中，学生经历了运用数学模型来刻画周期现象的整个过程，既体会到三角函数的本质又调动了学生学习积极性。另外，从实际问题中抽象出的单位圆进行研究，起到了承上启下的作用，既复习了三角比的内容，又为正弦函数作图时所用到的正弦线打下伏笔。

2．处理一般方法与特殊方法的关系

（1）在讲到作正弦函数的图像时，突出函数作图的一般方法（列表求值）与三角函数特殊作图方法（利用单位圆中的三角函数线）相结合，从代数和几何的角度实现描点。

（2）在学生掌握了正弦曲线的形状后，利用连续函数的特点，抓住一个周期内五个关键点的位置进行五点作图的教学。使学生了解一般中蕴含特殊，用特殊体现一般的辩证关系。

3．以问题驱动方式贯穿整节课

以问题调动学生思维，以问题带动课堂教学。充分体现了教师主导作用，学生自主探究的教学方法。主要问题例举如下：

其一：正弦函数的概念

引例解决后：得，教师提问：“这是否为函数关系式？”

〖说明〗启发学生从函数定义去思考。

当学生肯定了引例中是函数关系式后，教师再问：“如果把t改为x，把h改为y，将定义域范围变为R，那么还是函数吗？”

〖说明〗这样就从引例很自然的过渡到了正弦函数的定义。

其二：作正弦函数的图像

在开始引入正弦函数作图时，教师提问：“如何作出正弦函数的图像？”

〖说明〗让学生回忆对于函数作图的一般方法。

在肯定了列表描点法是作函数图像的一般方法之后，教师再问：“那么，是否还有其他作图的方法？能不能不算出正弦值？三角比中的正弦三角比是否有其几何意义呢？”

〖说明〗体现一般与特殊的关系，代数与几何的两个不同的角度思考问题。

在引出利用单位圆的正弦线作图之后，教师再问：“在作图中，我们是否直接作出整个定义域上正弦函数的图像？”

〖说明〗目的是为了简化作图，同时也体现了三角函数是解决周期现象的典型的数学模型。

在学生已经了解了正弦函数图像的大致形状，也发现这是个连续的函数图像之后，教师再问：“那么，当作图的精确度要求不太高的时候，我们是否可以通过确定一些关键点的位置来快速的作出正弦函数的大致图像？请再来观察一下刚才在上作的图像，其中有哪几个关键点？并请说出它们的坐标。”

〖说明〗解决问题要抓住事物的主要矛盾，这也是为了简化作图。

其三：作余弦函数的图像

在掌握了正弦函数的作图方法后，教师提问：“如何作出图像？”，学生思考后教师再问：“正余弦之间关系密切，那么能不能利用正弦函数的图像通过图形变换，来作出余弦函数的图像呢？”

〖说明〗引出余弦函数的图像可以说是本节课的高潮部分了。在这里，学生们可以畅所欲言，想出各种解决方法，也是学生综合能力地体现。

4．计算机辅助教学与教师板书示范相结合

本节课的重、难点是作函数的图像。因此，在教学中借助几何画板制作的动态作图演示，具有非常形象的效果。通过课件的动态表现，使抽象的问题具体化、形象化，有利于学生的理解和认知。

数学课的教学离不开黑板上的规范板演，通过黑板的例题示范，弥补了课件演示一闪即过的不足，加深学生对正弦函数的印象，特别是五点确定以后，如何用光滑的曲线描点，在描点中应该注意图像递增递减的趋势，以求实现多媒体和传统黑板教学两者的相互结合，互为补充，发挥彼此最大优势。

五、预期效果分析

在本堂课的教学中，以问题驱动为主，师生共同进行分析探究。着重体现了学生的独立思考，小组讨论和亲手体验作图的整个过程。教师通过提问、课件动态展示、黑板规范板书、学生练习点评等等多种教学形式，组织学生积极参与课堂活动，将教与学有效地结合起来。从思维深度上和动手实践上，充分激发了学生的学习和钻研兴趣，调动了学习热情。

附：简案

教学环节	教学过程	师生活动
创设情景 引入概念	引例：如图，质点在圆周上作逆时针的匀速圆周运动。设半径r为1个单位长，角速度ω=1弧度/分钟，当时刻时，在处，求经过t（）分钟后，到平台所在平面的相对高度h与t的关系式。	教师引导学生共同分析。
讲授新课 探究方法	1．正弦、余弦函数的定义 正弦函数。 余弦函数。 2．正弦、余弦函数的图像 （1）正弦函数的图像 思考：如何作出正弦函数的图像？ 探究：借助单位圆中的正弦线作出正弦函数在上的图像，再作出正弦函数在R上的图像。 （2）五点法 思考：是否可以通过确定一些关键位置的点来作出正弦函数在上的大致图像？  （3）余弦函数的图像 探究：如何作出余弦函数图像？	教师引导学生共同探究。
例题示范 练习巩固	例题：作出函数上的大致图像。 练习：作出函数上的大致图像。	教师与学生共同完成例题，并纠正常见错误，学生通过练习加以巩固。
课堂小结 提炼精华	小结：知识点、思想方法。	学生小结，教师总结。

研讨素材一

一、教学内容解析

    本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。

本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。

正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。

通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。

二、教学目标设置

   《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。”

根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为：

1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；

2、证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法；

3、初步熟知正弦定理的两个重要应用。

另外，学生通过亲身经历正弦定理的发现、验证、证明，体会“陌生的知识借助熟悉的知识处理” 转化化归的数学思想，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；通过自主探究、合作交流，亲身体验正弦定理的发现过程，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰难的思维品质和个人素养；培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法。

三、学生学情分析

1、学生具有的基础

本节课内容安排在高二上学期讲授，学生在初中已经学过平面几何的相关知识，并能够较为熟练地解直角三角形，必修四中也刚刚学过三角函数，在本章节的理解上不会有太大问题。

2、即将面临的问题

学生虽然有一定的观察分析和解决问题的能力，但是在前后知识的串联上会有一定的难度，学生对解直角三角形熟悉，但是面对一般的解三角形问题，解决起来有一定难度。因此，我确定本节课的难点是借助熟知的解直角三角形知识生成正弦定理的过程。

3、难点突破技巧

在教学过程中，我特别注重提升学生的学习积极性，尽量多得设置思维引导点，带领学生一起分析并解决问题；在问题的处理上，更加注重前后知识的串联，用已有知识解决新问题，并得到新知识；学习过程的推进也是逐步实现，环环相扣，循序渐进。

四、教学策略分析

本节课采用问题探究式教学模式，循序渐进，用问题驱动课堂教学，在老师的引导下，让学生探究、合作、交流、展示，尽可能多的质疑、探究、讨论，多参与课堂知识的生成和发现的过程，形成思维。

五、教学过程

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研讨素材二

一、教学内容解析

《正弦定理》是高中课程人教A版数学(必修5)第一章第一节内容，教学安排二个课时，本节为第一课时内容。学生在初中已经学习了直角三角形的边角关系。教师带领学生从已有知识出发，通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用观察-猜想-验证-发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。课本按照从简原则和最近发展区原则，采用“作高法”证明了正弦定理。教学过程中，为了发展学生思维，再引导学生从向量，作外接圆，三角形面积计算等角度找到证明的途径，让学生感受数学知识相互紧密联系的特点。

正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；正弦定理作为三角形中的一个定理，在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛。因此，正弦定理的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。

二、学生学情分析

我所任教的学校是一所普通高中，大多数学生基础相对薄弱，对一些重要的数学思想和数学方法的应用意识和技能还不高。正弦定理是学生在已经系统学习了平面几何，解直角三角形，三角函数，平面向量等知识基础上进行的。虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但正弦定理的发现，探索、证明还是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，发现并探索正弦定理。

三、教学目标定位

1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；

2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。

3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。

教学重点：正弦定理的探索与发现。

教学难点：正弦定理证明及简单应用。

四、教学策略

“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，结合现代多媒体教学手段，通过观猜想—验证--发现--证明--应用等环节逐步得到深化，体验数学知识的内在联系，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生探索精神和创新意识。

五、教学过程

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研讨素材三

【教学目标】

1．知识与技能

①从特殊三角形的边角关系出发，通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及证明方法；

②会应用正弦定理解决解三角形的基本问题．

2．过程与方法

    ①让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，体验正弦定理的发现过程；

②引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，体会发现数学规律的一般思路．

    3．情感态度与价值观

①培养学生通过合情推理探索数学规律的思想方法，通过平面几何、三角函数、正弦定理、平面向量等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一；

②通过学生课堂展示，增强学生的协作能力和交流表达能力，发展学生的创新意识，培养逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养．

4．现代教育技术

①利用几何画板制作动态演示课件，促进学生对问题本质的理解；

②学生独立应用科学计算器等其他计算工具进行三角函数值的相关计算．

   【教学重点、难点】

教学重点：正弦定理的发现及生成过程．

教学难点：利用正弦定理解三角形．

【学习者特征分析】

作为教学对象的学生是学习主体，为了突出学生的主体的地位，教师须全面研究学生，理解学生．

1．认识结构

经过半年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高．但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上．在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程．

2．情感结构

随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思考问题、发现问题的能力．在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣．

【教学媒体】

多媒体网络教室、几何画板、科学计算器．

【教学方法】

本节课的教学重点是正弦定理的生成过程，因此主要采用 “动眼看、动脑想、动手推、动口说”的探究式教学方法，增加了学生自主参与度，给学生充分合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生“学”有所“思”，“思”有新“得”，“练”有所“获”，让学生产生学习的成就感，激发学生的学习兴趣．

【教学过程】

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研讨素材四

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

（1）关于正弦定理的探究教科书首先从三角形中等边对等角引出“在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系”的问题.注意到初中利用锐角三角函数已经解决了直角三角形中的情形，即在Rt△ABC中，我们有

    一个自然的问题是，对于锐角三角形和钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？

    由于涉及三角形的边、角关系，并注意到探究余弦定理时利用的是向量方法，因而教科书仍然采用向量方法来研究上述关系，以此体现向量的工具作用.探究过程中，关键在于阐明“过点A作与向量AC垂直的单位向量j”的思维过程.教科书中的“思考”及其相应说明，正是为揭示这一思维过程而设计的，教学中应当引起注意。

    （2）正弦定理的其他形式获得了正弦定理后，可以介绍它的另外三种形式.

    ①拆分式正弦定理虽然是一个连等式，但它可以拆分成如下三个等式：

    在实际应用中，常用的是拆分式.事实上，拆分式中的每一个等式都揭示了三角形两个角与它们对边之间的关系，如果已知其中任意的三个量，便可以求出其余的一个量.

    正弦定理（主要是拆分式）可以用来解决两类解三角形的问题：

    （i）已知两角和任一边，求其余的两边和一角；

   （ii)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其余的边和角.

    ②连比式正弦定理可以写成如下连比的形式：

    a:b:c=sin A:sin B:sin C.

    根据正弦定理的连比式，可以间接地把问题看成已知三角形三条边的问题，为利用余弦定理解决问题创造了条件.

    根据正弦定理的连比式，可以间接地把问题看成已知三角形三条边的问题，为利用余弦定理解决问题创造了条件.

    ③分体式

     分体式在“化边为角，化角为边”的过程中经常使用，这里的k实际上是三角形外接圆的

    （3）正弦定理的其他证明方法对于余弦定理，我们给出了余弦定理的坐标法证明和几何法证明.下面，我们利用锐角三角函数和三角形面积公式证明正弦定理.

    ①利用锐角三角函数证明教科书处理这一部分内容时，一开始直接利用锐角三角函数推出了正弦定理在直角三角形中成立，既然如此，对于锐角三角形和钝角三角形，只需作高，便可得到直角三角形了，然后再用锐角三角函数即可获得证明.

    如图6-25，

当△ABC是锐角三角形时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据锐角三角函数的定义，得BD=csin A,BD=asin C.

    所以asin C=csin A，

    当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角，如图6-26所示.

    过点B作AC的垂线，与CA的延长线相交于点D，则BD=csin(180°-A)=csin A,BD=asin C.

     利用锐角三角函数证明正弦定理比教科书中介绍的向量法要简单.教科书之所以选用向量法，旨在体现向量在三角中的应用，这也是《标准（2017年版）》的要求.从这个意义上来说，教学时应首选向量法.至于利用锐角三角函数探究正弦定理，正如教科书中所说的，请学生自行尝试即可.

②利用三角形面积证明

    如图6-27，

    以△ABC的顶点A为原点，边AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.

    设BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则不论A是锐角、钝角还是直角，由三角函数的定义知，点B的坐标始终为（ccos A，csin A).过点B作BELAC，垂足为E，则BE=csin A.

    于是可得

    同理可得

    由此即得任意三角形的面积公式

    将等式

中的每一部分同除以

由反比定理，得

   这里，推导“用两边及其夹角”来表示的三角形面积公式，其目的是证明正弦定理。由于《标准（2017年版）》中对上述三角形面积公式没有提出要求，因此教科书中未作介绍，但考虑到这个面积公式经常用到，因此，在习题6.4第10题中要求学生自行探究.教学中是否介绍这一公式，可以根据学生的情况酌情处理。

    （4）例7、例8的教学

例7是已知三角形的两个角和任意一边解三角形的问题，可以直接利用正弦定理来求解.但

    在求解中涉及sin15°的计算，这是非特殊角的三角函数求值问题.可以把它改写为sin(45°-30°），也可以改写为sin（60°一45°），还可以改写为，教科书中选用sin(45°一30°）.

    教学中可以让学生自己思考解决方案并进行计算.

    例8是已知两边和其中一边的对角解三角形的问题，可以利用正弦定理来求解.对于本例题，当求得后，应注意引导学生分析得出在0°~180°内，与对应的角有两个，一个锐角，一个钝角，即C=45°，或C=135°.是否两个角都符合要求？这需要引导学生分析。

    事实上，根据“三角形大边对大角”的结论，因为c>b，所以C>B.而B=30°，所以C=45°，或C=135°都符合要求，即此题有两个解.本例教科书的旁白中“为什么角C有两个值？”的问题设计，正是为了引发学生作上述这样的思考.

    以上内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。

二、教学目标

1．正弦定理的发现和证明过程；

2．正弦定理的应用．

三、教学重点、难点

重点：正弦定理的发现和证明过程及其基本应用，体会向量方法推导正弦定理的思想．

难点：用向量方法推导正弦定理的思路方法，及正弦定理在应用求解三角形时的思路．

四、数学学科素养

数学抽象、数学建模、直观想象、逻辑推理、数学运算

五、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

四、教材习题答案

    根据文末留言的要求，考虑到高一学生预习的需要，这里提供教材的练习、习题及复习参考题等等习题答案，可能有错漏，仅供各位学生朋友参考。

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