三文读懂PCA和PCoA（一）
本文转载自“金唯智生物科技”，已获授权。
在微生物NGS测序领域的高分文章中，PCA（主成分分析）和PCoA（主坐标分析）会很常见。甚至在RNA分析领域，很多研究和文章也会依据基因的表达量作PCA和PCoA分析。
常见的PCA和PCoA分析以下图的形式呈现：
国际空间站与喷气推进实验室依据种群多样性进行的PCoA分析[1]
不同培养条件马铃薯浆发酵液的菌群差异[2]
很明显，我们可以通过分析坐标轴中样本和样本之间的距离直观地看到2个样本或2组样本之间的菌群差异性。若2个样本或2组样本之间的直线距离较近，则表示这2个样本或2组样本的菌群差异性较小；相反，若2个样本或2组样本之间的直线距离较远，则表示它们之间菌群差异性较大。所以，PCA和PCoA所呈现的结果，具有直观性（直接看两点之间的距离）和完整性（呈现所有样本），且数据易于分析和解读（大家都看得懂）。
那么，PCA和PCoA是如何定义的？PCA和PCoA之间是否有区别？何时该选用PCA或何时该选用PCoA？PCA和PCoA背后的分析原理如何？相信这些问题是比较困扰读者的。
PCA（Principal Components Analysis）即主成分分析，也称主分量分析或主成分回归分析法，首先利用线性变换，将数据变换到一个新的坐标系统中；然后再利用降维的思想，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上。这种降维的思想首先减少数据集的维数，同时还保持数据集的对方差贡献最大的特征，最终使数据直观呈现在二维坐标系[3]。
PCoA（Principal Co-ordinates Analysis）分析即主坐标分析，可呈现研究数据相似性或差异性的可视化坐标，是一种非约束性的数据降维分析方法，可用来研究样本群落组成的相似性或相异性。它与PCA类似，通过一系列的特征值和特征向量进行排序后，选择主要排在前几位的特征值，找到距离矩阵中最主要的坐标，结果是数据矩阵的一个旋转，它没有改变样本点之间的相互位置关系，只是改变了坐标系统。两者的区别为PCA是基于样本的相似系数矩阵（如欧式距离）来寻找主成分，而PCoA是基于距离矩阵（常用bray, jaccard, unifrac）来寻找主坐标[4]。
好吧，定义比较抽象，我们还是无法看懂看透PCA和PCoA。不急，下面的文字很重要~~~
1.PCA的理解
a. 假如有3个实验样本，它们共有1个物种x，那么我们其实可以用物种x的相对丰度来表示样本和样本之间的差异。这样我们就可以画一个一维坐标轴，将这3个样本的物种x的丰度表示在一维轴线上，如下图所示：
物种x在A, B, C三个样本中的相对丰度
（上部分为物种组成矩阵，下部分为样本的坐标系呈现）
此时数据不发生偏移，样本和样本之间的距离代表样本之间的物种丰度差异（实际上样本A和B间的距离即为A中的物种x的丰度与B中物种x的丰度的差值）。
b. 假如有3个实验样本，它们共有2个物种：x和y。那么我们其实可以用物种x和物种y的相对丰度来在二维坐标系中定位样本。A=（x1,y1）， B=（x2,y2），C=（x3,y3），如下图所示：
物种x和y在A, B, C三个样本中的相对丰度
（上部分为物种组成矩阵，下部分为样本的坐标系呈现）
此时数据不发生偏移，样本和样本之间的距离代表样本之间的物种丰度差异。
c. 假如有3个实验样本，它们共有k个物种: x, y, z…………k。那么我们其实可以用物种x, y, z…………k的丰度来定位样本A=（x1,y1,z1……………k1）。同理，样本B与C也可以用这种形式表示。细心的同学可以发现，其实A=（x1,y1,z1……………k1）是一组向量，而且是k维向量（A=（x1）是一维向量，A=（x1,y1）是二维向量，A=（x1,y1,z1）是三维向量）。但是k维向量无法在二维坐标系（平面）中表示（一维和二维向量可以，如上a和b两种情况）。此时我们要么将K维向量作出一些取舍，如削去一些不重要的向量仅保留2个关键向量（削去一些不重要的物种仅保留2个关键物种）；要么将K维向量投射到二维坐标系中（降维），但是此时数据便会损失，例如下图，我们将二维坐标系中的数据投射到一维坐标系中，实际数据会折扣掉一部分（A和B的直线距离为5，投射到x轴的一维距离为4，投射到y轴的一维距离为3。从第一维坐标轴上观察A和B的距离只有4，从第二维坐标轴上观察A和B的距离只有3。）。
将二维空间数据投射到一维空间中存在数据损失
因此将k维空间的数据投射到二维空间上（降维），就会产生数据损失，此时坐标轴的贡献率就不再是100%，而是小于100%（而a和b两种情况无需降维处理，因此贡献率为100%）。此时数据如下图所示：
将k维空间数据投射到二维空间中
（上部分为物种组成矩阵，下部分为样本的坐标系呈现）
因降维处理，数据发生损失，样本和样本之间的距离代表样本之间的物种丰度差异。
那么如何来选择投影？这就是定义当中所提到的“使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上”。
a. 假如有2个实验样本，它们都有很多物种，那么我们可以用Bray-Curtis或UniFrac（或其他算法）计算每个样本的物种组成差异度（用一个数值表示物种相对丰度），数值之间的差异就代表了2个样本的物种相对丰度的差异。这样我们就可以画一个一维坐标轴，将这2个样本表示在一维轴线上，如下图所示：
2个样本在一维坐标系中呈现
（上部分为物种组成矩阵，下部分为样本的坐标系呈现）
此时数据不发生偏移，样本和样本之间的距离代表样本之间的物种丰度差异。
b. 假如有3个实验样本，同样可以用Bray-Curtis或UniFrac（或其他算法）计算每个样本的物种组成差异度（用一个数值表示物种相对丰度），数值之间的差异就代表了每2个样本的物种相对丰度的差异。这样我们就可以画一个二维坐标轴（三点组成一个面），将这3个样本表示在二维轴线上，如下图所示：
3个样本在二维坐标系中呈现
（上部分为物种组成矩阵，下部分为样本的坐标系呈现）
此时数据不发生偏移，样本和样本之间的距离代表样本之间的物种丰度差异。
c. 以此类推，假如有n个实验样本，同样可以用Bray-Curtis或UniFrac（或其他算法）计算每个样本的物种组成差异度（用一个数值表示物种相对丰度），数值之间的差异就代表了每2个样本的物种相对丰度的差异。这样我们就可以画一个n-1维坐标轴，将这n个样本表示在n-1维空间中。但是n-1维空间无法在平面上表示（一维和二维除外，三维勉强可以），因此只能利用矩阵呈现，如下图所示：
n个样本的矩阵示意图
若要将n-1维的数据在二维坐标系中呈现，需降维处理，即将n-1维的数据投影到二维空间当中，方法与思路同PCA类似。此时，2个坐标轴的贡献率均小于100%，如下图所示：
n个样本在二维空间中呈现（只展示了3个样本）
因降维处理，数据发生损失，样本和样本之间的距离代表样本之间的物种丰度差异。
这个时候， PCA和PCoA就好理解了。我们再回过头看定义“PCA是基于样本的相似系数矩阵（如欧式距离）来寻找主成分，而PCoA是基于距离矩阵（欧式距离以外的其他距离）来寻找主坐标”，其实浅显地来理解，就是上面这么回事。
我们知道了PCA和PCoA的定义，也理解了PCA和PCoA的区别，那么它们该何时选用，以及背后的算法如何？欲知后事如何，且听下回分解。
特此声明：
1、 本文仅供读者理解，不涉及专业学术论证；
2、 本文为小编的一点感悟心得，非常欢迎各位业界同行的讨论与交流，同时也非常欢迎各位专家老师的指正，您的一个问题会使我们共同进步！
参考文献：
[1] Aleksandra Checinska et al., Microbiomes of the dust particles collected from the International Space Station and Spacecraft Assembly Facilities. Microbiome. 2015
[2] Zhiman Yang et al., Enhanced methane production via repeated batch bioaugmentation pattern of enriched microbial consortia. Bioresource Technology. 2016
[3] https://baike.baidu.com/item/主成分分析/829840?fr=aladdin
[4] http://blog.sina.com.cn/s/blog_49e55e450102uzj8.html
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