戴森和量子电动力学

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戴森是全能型的科学家，他最具代表性的成就是他在量子电动力学方面所做出的奠基性的工作，此外，他在核工程学、固体物理、天体物理、生物学、以及数学等领域都做出过重要的贡献。本文将主要介绍戴森在1947-1948年间，用短短一年左右时间完成量子电动力学方面工作的传奇经历。

撰文 | 杨刚

普林斯顿高等研究院教授弗里曼·戴森（Freeman Dyson）于今年（2020年）2月28日去世，享年96岁。戴森是全能型的科学家，他最具代表性的成就是他在量子电动力学方面所做出的奠基性的工作，此外，他在核工程学、固体物理、天体物理、生物学、以及数学等领域都做出过重要的贡献。本文将主要介绍戴森在1947-1948年间，用短短一年左右时间完成量子电动力学方面工作的传奇经历。（关于戴森的完整生平，林开亮的《戴森传奇》^[1]一文做了精彩的介绍。）戴森的这项工作奠定了量子场论的现代重整化纲领，让量子电动力学从原先混沌难懂的状态，变为一门容易被大家所理解的语言。如今，量子场论已经成为理论物理学的重要理论框架，特别是基于这一框架的标准模型统一了电磁力、强相互作用和弱相互作用这三种基本力。

在了解戴森的具体成就之前，让我们先来回顾一下1947年物理学所面临的问题。

一、量子场的无穷大危机

20世纪初笼罩于经典物理学的两朵乌云，因为量子力学和相对论的建立而逐渐消散。如何将这两个基本理论统一起来，就成为物理学家接下来自然要考虑的问题。这方面最具开创性的两个成果都是由狄拉克（Paul Dirac）在20世纪20年代末期完成的。1927年，狄拉克发表了关于电磁场理论的量子化工作，（在无需任何统计假设的情况下）首次从第一性原理计算出了爱因斯坦辐射理论的系数，这个工作也被认为是量子场论的开篇之作。紧接着1928年，狄拉克考虑了薛定谔方程的相对论性推广，提出了著名的狄拉克方程。基于这一方程，狄拉克解释了电子自旋的起源，计算了氢原子能谱的高阶修正，并借助电子负能海和空穴的图像预言了正电子（即反物质）的存在。（狄拉克方程无疑是代表人类洞察力和想象力巅峰的划时代之作。温伯格的场论书^[2]第一章对这些发展有极好的介绍，并且也讨论了狄拉克方程的历史局限性。）
在狄拉克等人工作的基础上，20世纪30年代，量子场论的正则量子化框架被建立起来。不仅电磁场，人们意识到一般的物质粒子也可以作为场的激发，用量子场论的框架描述。这方面最具代表性的成就，是汤川秀树（Hideki Yukawa）在1935年提出了描述核子力的介子场，他也因为这个工作在1949年获得诺贝尔奖，是日本首位诺奖得主。
但统一量子力学和相对论的征程还远未结束。人们发现，量子场论的领头阶计算结果和实验往往就符合得很好，但一旦尝试进一步改进这些计算，考虑基于耦合常数展开的高阶修正时，几乎所有过程都会得到无穷大的结果。这主要来自于对于中间态的动量做积分，而这些积分往往会导致无穷大。最早发现这类无穷大的工作之一，是奥本海默关于电子自能的计算，见图1的说明。（史瓦兹的场论书^[3]第4.2节对于奥本海默的计算有具体的介绍。）

图1：在量子世界中，一个电子在传播过程中可能短暂地转化为一个电子加上一个光子，然后这个光子和电子很快再变回一个电子。其中短暂出现的光子称为虚光子。计算这个过程需要对虚光子的所有可能动量做积分，这会导致无穷大。

让我们再回到狄拉克方程，看一些具体的无穷大的例子。狄拉克方程预言了氢原子的两个能级——称为和能级——是严格相等的；此外，这个理论也自然地要求电子的磁矩取整数单位值（对应的所谓g因子取值为2）。但当人们在量子场论框架下，计算它们的高阶修正时，发现能级和电子磁矩都会受到无穷大的改变。
一个无穷大的结果看起来是毫无意义的。当时大家的普遍想法是已有的理论应该还不完备，会有一个全新的革命性理论来替代现有的框架。对于这个无穷大，一种流行的态度是“鸵鸟政策”，领头阶的结果符合得很好，高阶的无穷大可能没有实际意义，naive地取为零就可以了。
然而，这个局面因为物理实验上的进展而彻底打破。

二、兰姆位移和反常磁矩

如果要列举物理学史上最重要的会议，1947年6月在纽约附近的谢尔特岛（Shelter Island）举办的会议，以及1948年3月底4月初在宾州的波科诺（Pocono）举办的会议，可能可以排进前三名。这是两次人数均只有二十多人的小型会议，上文提到的奥本海默是主要组织者之一，参会者不乏玻尔、狄拉克、泡利等大牛。会议的主要议题就是讨论量子电动力学相关的新实验进展以及理论解释。可以说，正是这两次会议直接导致了量子电动力学的建立。（亲身经历了会议的亚伯拉罕·派斯在他的物理学史名著《Inward bound》^[4]中对于这段历史做了生动的介绍。）
在1947年的谢尔特岛会议上，从理论改行做实验的物理学家兰姆（Willis Lamb）汇报了他和合作者几周前的新发现，他们利用二战期间发展的微波束技术，精确测量了氢原子的和能级，发现二者并不是严格相等的，而是有一个约为1000兆赫兹的能级差（仅相当于实际能级的百万分之一），这就是著名的兰姆位移（见图2）。另一方面，实验物理学家拉比（I. I. Rabi）也介绍了关于电子磁矩的测量，发现g因子不是2，而是2.001，这个偏差说明电子存在反常磁矩。注意这些偏差虽然很小，但实验精度足以说明它们是确实存在的。这些结果让理论物理学家们意识到，狄拉克理论是不完备的，这些偏差应该和量子场论的高阶修正相关，必须要认真对待之前的无穷大问题了。

图2：兰姆在黑板前描述氢原子能级差，他也因为兰姆位移的发现于1955年获得诺贝尔奖。

对这些问题首先从理论上给出合理解释的是汉斯·贝特（Hans Bethe）。贝特的一个重要简化是考虑非相对论近似，因为氢原子中电子的速度远小于光速，这样的近似也是合理的。他的计算也同样遇到无穷大，对此他选取了电子质量作为高能截断，得到了1040兆赫兹的有限值，这样近似的结果竟然和兰姆位移的实验值（1060兆赫兹）符合得意外的好。这一计算大大增强了人们对于已有理论的信心。值得一提的是，这个计算是贝特在谢尔特岛会议结束后的回程火车上完成的。（据说在另一次火车旅途上，贝特完成了他获得诺贝尔奖的工作，也就是解释恒星发光的机制。贝特是戴森在美国的导师，他善于用简单的图像直指问题的核心，物理学中以他名字命名的有场论中的Bethe-Salpeter方程，求解自旋链模型的Bethe Ansatz等，都是名垂青史的工作。）
几个月之后，施温格（Julian Schwinger）基于量子场论完成了电子反常磁矩的计算，结果和实验值在误差内完全符合。之后他也进一步计算了兰姆位移（这一计算比反常磁矩要复杂得多）。这些结果引起了轰动，在1948年春季的波科诺会议上，施温格做了马拉松式的报告，详细讲解他的工作。值得强调的事，日本的朝永振一郎（Sin-Itiro Tomonaga）也发展了类似的方法，并且他是先于施温格和费曼，最早完成了兰姆位移的完整计算^[4]。

我们上面提到，量子场论的主要问题是存在无穷大。无穷大本身可能并不可怕，在场论的正则量子化中其实就出现过无穷大的真空能，但人们所需要关心的不是真空能本身，而是相对于真空的激发，只要相对能量是有限的就可以了。类似地，处理场论无穷大的一个思路是取截断，或者将无穷大通过某种方式抵消掉，只要保证“可观测”的物理量是有限的就可以了，这就是“重整化”的基本思想。这一思想其实远在施温格之前就被一些人所意识到。但通常的截断会破坏理论的对称性（比如洛伦兹或者规范对称性），这就存在任意性，从而给出不确定的结果。施温格和朝永振一郎的工作就是发展了协变性的理论，使得发散的减除能够自洽而唯一的给出来。尽管如此，施温格的计算非常复杂，这也使得相关的计算除了施温格这样计算功底超强的人其他人几乎无法完成。

在波科诺会议上，费曼也做了一个报告。他用看起来完全不同、并且简单得多的方法，得到了和施温格计算相同的结果。费曼的计算显示出他超人的直觉。他在博士期间就发展了量子力学的路径积分方法，基于这些图像，他引入了费曼传播子，和传统方法相比，可以大大简化计算的过程。遗憾的是，费曼当时并不知道具体的计算规则，他的结果基本上是凑出来的，他的报告的效果也因此远逊色于施温格。

图3：1947年谢尔特岛会议的讨论。从左到右，站着的两人是兰姆和惠勒（John Wheeler），坐着的四人是派斯、费曼、费许巴赫（Hermann Feshbach）和施温格。派斯这样回忆当时的场景^[4]：“费曼试图给我们解释一种全新的场论计算方法。他上来就画一些图，而通常的产生和湮灭算符不见了。我让费曼用他的方法计算一些我所知道的结果。他这样做了，而且用飞快的速度就做到了 。不管费曼用的方法是什么，肯定重要的——但是我不能理解它。”

所以在波科诺会议之后，就存在着施温格和费曼的两种方法，它们看起来迥然不同，人们因此戏称为两套互为竞争对手的理论。一方面，施温格的计算看起来自洽严谨，但计算的复杂性使得其他人难以重复；另一方面，费曼的计算看起来非常有效，但连费曼本人也解释不清他为什么要这样做，其他人就更难使用了。
了解了当时的现状之后，就可以请我们的主角戴森出场了。

三、从剑桥到康奈尔

戴森在剑桥本科学习时的主要研究兴趣是数学，但期间他也阅读了海特勒的《辐射的量子理论》^[5]，这本书使得他了解到当时物理学的现状以及未解决的难题，从而对物理也深感着迷。他给自己做了一个约定，如果能证明数论中的一个猜想（西格尔猜想，Siegel's Conjecture），就将从事数学研究，如果不能就做物理。不确定这是数学的不幸还是物理学的幸运，戴森证明西格尔猜想的进展不尽如意，从此投身于物理事业。（关于这段历史^[1]中有详细的生动介绍。）
战后戴森拿到三一学院的奖学金回到剑桥，帮助他完成从数学到物理学过渡的是克默尔（Nicholas Kemmer）。在克默尔的指导下，戴森仔细研读了当时唯一的一本场论书，温策尔的《波场的量子理论》^[6]。克默尔曾是温策尔的学生，而这本书就是克默尔的私藏，据说当时在整个英国不超过两本。但克默尔无法给出戴森更多的指导。一次偶然机会戴森遇见了流体力学家泰勒（Sir Geoffrey Taylor），后者建议戴森应该去美国的康奈尔大学和贝特学习。戴森接受了这一建议，并顺利获得了联邦奖学金，在1947年秋第一次来到了美国。

图4：年轻时候的戴森

“昨天我乘火车到了这边。旅途有山峦和峡谷相伴，非常惬意。这边的天气有些灰蒙蒙的，湿润而凉爽，但也足以让人看清四周山湖环绕的美丽全景。”

这是1947年9月戴森在给他父母的信中，描述他初到康奈尔的印象。戴森在美国期间保持着和父母的通信，详细描述了他在这边的生活、师友，乃至工作上的进展，从而为这段历史保持了难得的第一手资料。（本文所引用的戴森家信都源自Kaiser的《Drawing Theories Apart》^[7]一书，由笔者翻译，下文不再重复引用。）
在10月29日给母亲的信中，戴森写道：

“您问到关于我生活作息的更多信息。抱歉之前没有提及，部分原因是我没有花时间去写，但另一方面也确实没太多好说的。我现在过的是一种高度职业化的生活，没有任何私生活可言。我从一大早起来就一直思考着介子和光子，这些都没什么可以细说的。我每天的作息，大致说来，是全部时间都待在物理系，做研究和读文章。为了调节一下，我也去听两门课，每周也有两个下午要参加实验室工作。其他时间也会去听听报告，并有大量的讨论。如果没有别的事，晚上我也待在系里，虽然一般每隔一两晚就会有聚会或演出，有时我也去散散步或者去阅览室看书。从这些您可以了解到我的生活是极有规律的。目前我并不想有任何改变，问题是我究竟能保持多久。…和剑桥相比，这边的气氛有显著的不同，在这儿，一个人刻苦工作是天经地义的。而这也更加强了我乐于埋头工作的天性，有生以来我第一次可以不受打扰的顺利思考物理。”

有趣的是，戴森对自己的描述似乎和别人对他的印象有不小的出入。他的同学Baranger这样回忆当时大家的印象^[7]：“戴森早上来到研究生办公室后，往往读一会《纽约时报》，把脚翘在桌子上，然后打个小盹。下午他会去找贝特讨论，但别的学生认为他只是做做样子。”看来给大家的感觉，戴森纯属一位来自英国的公子哥。很快这些人就因为戴森的文章发表而被打脸了。

四、初试身手

戴森在9月25日的家信中提到了他的导师贝特，他描述贝特是他所见过的“最不剑桥的人”：

“贝特是个古怪的人，他高大而显得有点笨拙，经常穿着一双沾满泥巴的旧皮鞋。他给人的印象是非常聪明而且和蔼，但同时又是一个滑稽的教授。尽管如此，他曾经是洛斯阿拉莫斯的二把手，所以他肯定是一个一流的管理者。”

初看起来颇有些搞笑的贝特很快就赢得了戴森的尊敬，他在三个星期后的信中写道：“我在贝特身上看到了很多，远远超出我之前的期待。我越来越惊异于他的才智，他的思考和论证总是采用一种最有力的方式，而且从不犯错。”
我们前文提过贝特最先给出了兰姆位移的估算，他写成了两页的短文，在戴森来康奈尔之前的一个月刚在《物理学评论》上发表。因为贝特只是处理了非相对论情形，他建议戴森考虑相对论性的推广，并且为了简化，假设电子没有自旋。得益于之前在剑桥研读温策尔所受的训练，戴森在这一课题上进展飞速。经过两周的紧张工作，伴随着几百页的草稿纸，他完成了贝特交给他的计算。他的计算结果和贝特之前的计算以及实验符合的很好。在贝特的建议下，戴森花了几周时间把这些结果整理成文，当年12月投稿到了《物理学评论》。

戴森的能力无疑给贝特留下了深刻的印象。戴森的奖学金原本是在美国待一年，贝特建议他在美国再多待一年，并且要他去和奥本海默一起工作，后者不久前刚搬到普林斯顿高研院。为此贝特专门给联邦基金写信^[7]：

“戴森比我们康奈尔最好的美国研究生还要强很多，让他延续在这个国家的学习有一个非常充分的理由。戴森对于量子电动力学的新发展很感兴趣，这些发展让这个停滞了几乎20年的课题重新焕发生机。现阶段这方面的工作都是在美国开展的，主要的研究中心包括奥本海默教授的高等研究院，哈佛和麻省理工，以及我们系。戴森已经在这个领域做出了很大贡献，如果他能够和奥本海默工作一年，他将进一步拓展知识面，这也能使他在回到英国之后继续传播这些知识。”

对于这一建议，戴森也毫不掩饰他的期待，他在12月的家信中说道：“和普通追星族一样，我也不能免俗，我很希望能在回家前和爱因斯坦，外尔，冯诺依曼相识，而这也只有在普林斯顿才能办到。”
信中戴森也提到了上面工作上的顺利进展，并感慨道：

“所有这些表明我从数学转到物理是一个多么正确的决定。尽管遇到些挫折，在过去两个月中我并没有做出什么称得上很聪明或者很难的东西，没有任何赶得上我在三一学院课题的十分之一困难。但因为这是一个人人皆知的问题，理论物理学家已经为此绞尽脑汁十多年也进展甚微，所以即使是最微小的贡献也可以立刻发表并获得赞誉。”

完成了第一个课题后，戴森继续思考相关的问题。在1948年秋天去普林斯顿之前，他还有大半年的时间，在这段时间里，戴森抓住了和费曼以及施温格亲密接触的机会，从而为他最终统一二者的理论奠定了基础。

五、统一费曼和施温格理论

在康奈尔，戴森可以和费曼充分交流。费曼在参与了洛斯阿拉莫斯的原子弹研究之后，追随贝特来到康奈尔任教，是康奈尔另一位个性十足的物理学家。戴森在1947年11月的家信中描述了他对费曼的印象：

“费曼是另一位让我越发仰慕的人。他是这边最耀眼的年轻物理学家，也是我见到的第一个那种罕见类型的例子，本国美国物理学家。…他已经发展了自己版本的量子理论，那被普遍认为是一个优秀的工作，对处理某些问题可以比传统方法更有效。他脑袋里总是充满了创意，尽管大多不如看起来那么有用，而且在没有发展多远就被新的灵感所代替了。他对于物理学最有价值的贡献是作为精神士气的维护者，当他带着最新的创意冲进屋里，并用夸张的语调和手势来展示的时候，生活绝不会枯燥。”

和其他人的经历类似，戴森一开始也觉得费曼的图形技术“完全难以理解”。他在1948年3月的家信中这样写到：“费曼是这样一个人，如果贝特的想法有多容易理解，他就有多难以把握。”但无论如何，戴森有整个学期的时间去消化费曼的想法，这段经历无疑对他后面的突破做了重要的准备。
接下来另一个重要经历，是在1948年的7-8月份，戴森参加了在密歇根的安阿伯举办的暑期讲习班。在这里他见到了施温格。在家信中，他这样描述到：“昨天伟大的施温格到了，我也是第一次和他交谈。他的报告从第一分钟起就极好，显然为了这次会议，他是花了大力气来精雕细琢他的理论的。我想几个月后我们就会忘记前施温格时代的物理是什么了。”暑期学校给了戴森六周的时间和施温格当面交流，通过这些学习，戴森也掌握了施温格的方法。
暑期讲习班结束后，戴森先去伯克利度了几周假，然后坐公交车穿越大陆回到东岸。就是在这个回程的旅途中，纠缠在一起的各种想法在戴森的脑海中完成一次传奇般的结晶。戴森在9月的家信中生动地描述这个神奇的经历：

“在旅途的第三天，不可思议的事情发生了。当一个人经过48小时的公交车颠簸，难免会进入一种半恍惚的状态。我开始艰难地思考物理问题，特别是施温格和费曼他们两个彼此对立的辐射理论。

渐渐地，我的想法变得融洽起来，甚至我还没有意识到自己到哪了，就已经解决了这个已经萦绕在我心头一整年的问题，也就是证明这两个理论的等价性。不仅如此，因为这两个理论各有各自的优点，这个证明就同时给出了施温格理论的一种新形式，使得它可以兼具二者的优点。

这个工作既不算很困难也不是特别聪明，但它无疑是重要的，特别是现在还没有其他人能做到这一步。所以你们可以想象我的兴奋劲儿，一到芝加哥，我就给贝特发信通知了我的胜利。我还没有时间将它认真写下来，但我已经计划尽快写成一篇正式论文并发表。”

六、两篇经典论文

戴森很快写出了两篇论文，分别在1948年10月和1949年2月投稿到《物理学评论》。

戴森的第一篇论文题为《朝永振一郎、施温格和费曼的辐射理论》。在这篇文章里，戴森给出了量子电动力学的新表述，并在这一框架下统一了费曼和施温格的理论。戴森的第二篇论文题为《量子电动力学的S矩阵》。这篇文章的主要篇幅是用来发展费曼的计算方法，特别是戴森系统地给出了高阶计算的重整化框架；而施温格和费曼当时也只是做了低阶的计算。


对于戴森的贡献，我们可以引用温伯格的评价^[2]：

“在1949年的两篇文章中，戴森证明了从施温格和朝永振一郎的算符形式出发，可以导出费曼所发现的图形规则。而且戴森分析了一般费曼图中的发散，并框架性地证明了这些发散总是可以被重整化消除。戴森的论证所带来的最显著的结果之一是给出了量子场论‘可重整化’的标准，这个标准就是，所有的发散都可以通过重新定义有限个耦合常数和质量参数而抵消掉。”

值得一提的是，戴森对于消除一般高阶发散的论证上还存在漏洞，这涉及到所谓的重叠发散（overlapping divergence）问题。这个问题很快于1950年被萨拉姆（Abdlus Salam）解决，他当时还在剑桥做研究生，在研究过程中受到了戴森的很多指导。（感兴趣重叠发散的读者，可以参看温伯格的场论书[2]第12.2节中的介绍。）

七、展望

戴森的工作推动了量子场论被大家所接受，后来朝永振一郎、施温格和费曼费因为在量子电动力学的原创性工作分享了1964年的诺贝尔奖。回顾量子电动力学的建立过程，可以看到1947年实验上的进展是有决定性作用的。这也印证了物理学是一门实验科学，实验和理论的冲突是推动物理学进步的主要动力。今天，量子场论和实验是否还有类似的冲突呢？

一个值得关注的是关于μ子反常磁矩的研究。前文我们提到了电子反常磁矩，施温格当时只做了单圈的计算，如今人们可以计算到四圈，理论计算和实验测量值在小数点后11位依然符合得很好，可以说是理论和实验符合得最精确的一个例子。然而，作为电子好伙伴的另一个轻子——μ子——也存在反常磁矩，对于它的理论计算和实验测量也都做到了很高的精度，但已有的实验值和基于标准模型的理论值看起来存在着不可忽略的冲突（尽管这个差别在小数点后第8位才出现）。目前美国的费米实验室正在试图给出更高精度的实验结果。如果这个偏差最终被证实确实存在，那将很有可能说明现在的标准模型理论是不完整的，有新的物理现象存在。（关于μ子反常磁矩的历史发展，卢昌海的系列文章《μ 子反常磁矩之谜》^[8]有详细而精彩的介绍。）
另一个重要的问题是，虽然基于量子场论的标准模型统一了强、弱、电磁三种力，但爱因斯坦广义相对论所描述的引力却一直没法纳入这一框架，也就是通常所说的引力量子化疑难。用场论的语言来说，这是因为引力不可重整，量子场论框架下的引力会有“无穷多的无穷大”。这个问题从某种程度上类似于戴森他们当年所面临的问题，当时因为有无穷大的存在，人们起初也认为量子力学和狭义相对论难以兼容，并期待全新的理论；最终是兰姆位移等实验结果起到了决定性的作用。今天，类似的无穷大问题对于引力依旧没有解决，或许我们现在所缺乏的，就是一个可以一锤定音的引力“兰姆位移”实验吧。

参考文献

[1] 林开亮，《戴森传奇》.[2] Steven Weinberg, 《The Quantum Theory of Fields》, Volume I.[3] Matthew D. Schwartz,《Quantum Field Theory and the Standard Model》.[4] Abraham Pais, 《Inward bound》.[5] Walter Heitler,《The Quantum Theory of Radiation》(1936).[6] Gregor Wentzel,《Quantentheorie der Wellenfelder》(1943).[7] David Kaiser,《Drawing Theories Apart》.[8] 卢昌海,《μ 子反常磁矩之谜》.作者简介

杨刚，中国科学院理论物理研究所研究员。研究方向：量子场论和超弦理论。

本文经授权转载自微信公众号“中国科学院理论物理研究所”。

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