学习数学能提高人的品味 | 李宏昀

电影《美丽心灵》（2001）剧照

《维特根斯坦传：天才之为责任》中提到，维特根斯坦在剑桥做罗素的学生时，就主张学习数学能提高人的品味：

因为好品味是真诚的品味，因此任何使人诚实思考的事都滋养它。

这个“论证”在我看来无懈可击。至于数学和“诚实思考”的关系，我可以提供一些说明。

1.

1993年6月，英国数学家安德鲁·怀尔斯以连续三次的学术演讲报告了他的工作，宣布费马大定理已经解决。然而，在对长达二百页、分为六章的论文的审核中，第三章的审稿人尼克·凯茨发现了一个实质性的漏洞。在往后一年多的时间里，怀尔斯千方百计地修补这个漏洞，几乎技穷而几近绝望；直到1994年9月，绝处逢生，凭借灵感找到了填补漏洞的方法。就这样，怀尔斯终于贡献出一个完美无瑕的费马大定理的证明。

关于这件史实，陈克艰老师的点评十分精到，所以我把原文抄录在此：

怀尔斯论文接受审查、发现漏洞、填补漏洞的过程，十分典型地表现了数学事业上成功和荣誉的性质。假使那个漏洞凯茨没有发现，审查就此通过，而在成功庆典、巨大荣誉之后怀尔斯却自己发现了这个漏洞，那么他的内心会怎么样呢？肯定不会像服用兴奋剂未被发觉因而超标夺冠的运动员那样狂喜，说不定竟是一种空虚感、幻灭感。再假使，怀尔斯最后的灵感不来，他未能填补漏洞，只能俟诸将来和别人，那又怎么样呢？虽然不无遗憾，未作最后冲刺，毕竟他在长期的努力中获得了许多新的、深刻的结果，他仍然是成功的，光荣的。费马问题带出了新数学，所以是个好问题；任何人因研究费马问题而创发了新数学，就是个好数学家。总而言之，数学事业的成功和荣誉，是自我界定的，无须数学之外的任何东西来衡量。欢呼啊，歌舞啊，鲜花啊，奖金啊，头像登在杂志封面上啊，声音播在百家讲坛上啊，都无须来做比方，因为这成功和荣誉，属于别一世界。（陈克艰《书中自有声色·两本可以互补的同名书》）

2.

《回忆维特根斯坦》是维特根斯坦的学生兼挚友马尔康姆写的回忆录。书中提到这样一则轶事：

在一次家庭接待中，为了对哲学的性质作出某种阐释，维特根斯坦出了一个有趣的谜题。它是这样说的：假设有一根绳子沿赤道紧紧地箍住地球。现在假设将这根绳子接长一码。如果这根绳子仍然绷紧成圆形，那么它会高出地面多少？在场的每个人都不假思索地想说，绳子离地面的距离会微小到觉察不出来。但这是错误的：实际的距离将约有六英寸。

倘若把这道题当成普通的应用题，列出方程式来求解，而不是“不假思索地想”，那么得出正确的答案并不难（1码=36英寸，36÷π÷2≈6）。维特根斯坦说，这里的错误在于被一种“图象”所迷惑：一码这样的长度相对于地球赤道的长度而言，是微不足道的。这图象本身没错，但是用在这里并不“切题”，只会造成误导。而在维特根斯坦看来，哲学上出现的某种错误与此类似。

或许，有的人面对这道题，直接就能“看”出来：圆直径的增量只须和圆周长的增量保持比例，和其他因素（比如圆周长的总量）完全无关。这时，他得到的就是正确并且切题的图象。即使一时没“看”出来，也没关系。就这个具体问题而言，老老实实地列方程式求解，有助于我们学习正确地“看”。

维特根斯坦用这道数学题作例子，想要说明的是他自己哲学工作的性质：清除心智上的图象造成的误导。这图象有可能本身有错误，也有可能本身正确但是并不切题——就是被用到不合适的事情上。

3.

在《回忆维特根斯坦》中，马尔康姆记述了这样一件他和维特根斯坦之间发生的不愉快：

有一次我们一起沿河散步时，看到一幅报纸经销人的招贴，宣称德国政府谴责英国政府煽动一起新近的用炸弹暗杀希特勒的行动。这是1939年秋天的事情。维特根斯坦谈到德国的断言时说，“假如是真的，那一点也不会使我吃惊。”我反驳说，我不相信英国政府的上层人物会去做这种事情；我的意思是说，英国人比较文明正派，不至于打算去做这种卑鄙的事情；我还补充说，这种行为与英国人的“民族性格”是不相容的。我的议论使维特根斯坦很生气。他认为这个说法极端愚蠢，而且还表明我没有从他正在努力给予我的哲学训练中得到任何东西。

我的理解：“民族性格”作为“图象”，本身是否正确？这个复杂的问题可以姑且不论。可以肯定的是，对于判断具体历史情境中具体人物的具体行为而言，这样一个图象是过于粗糙的，因而是不切题的。援引它会造成无穷无尽的误导。

到了1944年11月，也就是五年后，维特根斯坦在给马尔康姆的信中重提这次争论：

每逢想到你，我就不禁想起一件特殊的在我看来很重要的事情……你关于“民族性格”的议论，它的简单幼稚使我吃惊。我因而想到，研究哲学如果给你的只不过是使你能够似是而非地谈论一些深奥的逻辑之类的问题，如果它不能改善你关于日常生活中重要问题的思考，如果它不能使你在使用危险的词语时比任何一个……因为怀着自己的目的而使用这种词语的记者更为谨慎，那么，研究哲学有什么用处？你知道，我懂得要彻底地思考“确定性”、“或然性”、“知觉”等等是很困难的。但是，要对或者力求对你的生活或别人的生活进行真正诚实的思考，如果可能这样做的话，那就还要困难得多。麻烦在于思考这些事情并不紧张激动，倒往往使人陷入困扰。而既然它使人困扰，它就是最重要的。

在思考日常生活中的重要问题时，警惕“图象”的误导作用，谨慎使用“危险的”词语，这是“好品味”——也就是“真诚的品味”——的一部分。

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