无穷大减去无穷大等于多少？到底是不是等于0？

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你肯定曾经想过这个问题，无穷大减去无穷大等于多少呢？难道等于0吗？

今天就来给你答疑解惑。

先来看一个很规律的式子：

这个式子算出来等于多少呢，我们直接给结论，它等于ln(2)（如果按照上面的顺序算的话），也就是约等于0.693147。

1827年，19世纪的德国数学家约翰·狄利克雷在这个式子中发现了一个不得了的事情。

我们来看看他发现了什么。

这个式子可以这样写对吧：

那我是不是可以把里面的顺序前后换一下，写成这样：

然后我再在里面加几个括号，可以吧：

这样一来，把括号里的算一算，这个式子不就变成了：

那不就是吗？

也就是说，上面这个式子等于ln(2)/2，原来的一半，也就是0.34657…。

这不对啊，0.693147…怎么会等于它的一半0.34657…呢？

这里到底出了什么问题？是一个惊悚的数学漏洞吗，还是狄利克雷算错了？

狄利克雷没有办法解决这个问题，只好写了篇论文把这个奇怪的现象记录了下来。

25年后，在1852年，波恩哈德·黎曼发现了这个有趣的问题，并且终于找到哪儿出毛病了。

的确等于ln(2)，也就是0.693147…没错。

也的确等于ln(2)/2，也就是0.34657…没错。

所以，加括号的那一步当然也没有错。

那到底哪里出了问题？

狄利克雷刚刚犯的错误，就发生在把数字的顺序重排的过程中。

也就是说，

啊啊啊！这是为什么？

小学数学老师不是说，1+2就等于2+1么，1-2不就等于-2+1么，为什么我们不能把里面的数字重新排序呢？

这就是黎曼发现的一个事实——有限序列你可以想怎么排就怎么排，但是无穷序列你不能随便重新排序啊，重新排完了它就不是同一个东西了啊！

这就是著名的黎曼重排定理（Riemann Rearrangement Theorem）：

小学生走开别看

黎曼重排定理：如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列后，重新排列后的级数收敛的值可能会收敛到任何一个给定的值，甚至发散。

黎曼说，我把上面这个无穷序列打乱重排完了以后，算出来的值可以是任何数，1、2、3、4，想来啥就来啥，你要一个亿也可以给你整一个亿出来。

这又能说明什么呢？

这就说明了无穷大的奇异性。

想想看，是不是可以重排变成：

               -

好的，加起来是无穷大∞，

加起来也是无穷大∞

根据黎曼重排定理，上面这种无穷大减去无穷大的结果可以是任何值，可以是你的身高，你的体重，你的生日，你的银行卡密码，也可以是无穷大。

所以不要乱排无穷序列啊。乱来的话黎曼老师晚上会来找你，把你的五官重排然后加括弧消去哦！

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图片来源：giphy

参考资料：

http://web.math.ucsb.edu/~mangual/Divergent%20Series.pdf

https://math.uchicago.edu/~j.e.hickman/163%20Lecture%20notes/Lecture%207%20and%208.pdf

https://sites.math.washington.edu/~morrow/335_16/history%20of%20rearrangements.pdf