教学研讨｜10.3.1 频率与概率（2019版新教材）

请关注阳光备课 2023-02-05

教学研讨所选素材大多来自国家教育资源公共服务平台、人教网等权威媒体，由网友推荐，阳光备课整合，仅供各位老师学习和研究，各部分版权归原作者所有。

▍来源：网络

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

本节主要内容是频率的稳定性、频率与概率的联系与区别、用频率估计概率等

教科书编写意图及教学建议

在概率论中，大数定律严格刻画了频率的稳定性、频率与概率的关系，虽然学生在初中对此已有初步认识，但理解不够深入.在高中阶段，我们结合具体的随机试验，通过具体的试验或借助计算机模拟试验来认识频率与概率的关系.

1.本节内容的地位和作用

频率的稳定性是概率论的理论基础，它说明随机现象的规律性是客观存在的，事件发生的可能性大小是可度量的，现实生活中大量随机事件不能像古典概型那样，直接计算事件的概率，需要用频率来估计，例如，在保险领域中各种“事故”发生的概率，都是用频率来估计的.由于概率概念的抽象性，只有对频率与概率的关系有较深刻的认识，才能更好地理解概率的意义，而且对于后面的学习中理解数学期望的意义，由频率直方图引入正态分布等都有帮助.在独立性检验中，我们根据随机样本数据，通过频率估计概率，来推断两个事件是否独立或两个分类变量是否独立.教学中，对频率与概率关系的教学，应给予足够的重视.

2.关于频率与概率的关系的认识的几个层次

对于在初中、高中和大学课程中都出现的内容，一般是不可能一次达到学生的理解水平的，需要根据学生的思维发展水平安排螺旋上升的阶梯，对于这样的内容要把握好度，对于频率与概率关系的认识，可以划分为以下几个层次.

第一层次，通过频率与概率的意义的直观认识.频率描述事件发生的频繁程度，而概率是事件发生的可能性大小的度量，一般地，如果事件A的概率较大，那么，在重复试验中，事件A发生得比较频繁，因此事件A的频率一般也较大，反之，在重复试验中，事件A发生的频率较大（小）,说明该事件发生的概率也较大（小）.

第二层次，通过试验认识频率的稳定性，经历具体的随机试验，认识到当重复试验的次数较少时，频率的波动比较大.随着试验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近，这个常数就是概率。所以，当试验次数较大时，我们用频率来估计概率。

第三层次，认识频率与概率的本质区别.对确定的随机事件，其发生的可能大小是客观存在的，即事件的概率是唯一确定的一个数值。而事件发生的频率却具有随机性，试验次数不同，其频率可能不同，即使试验次数相同，不同的试验频率也可能不同.

第四层次，通过具体的计算或计算机模拟认识频率的稳定性。下面的案例仅供教师参考，它有助于将频率与概率的关系表述得更准确.

案例4分别抛挪100次、200次、1000次、4000次硬币，用“正面朝上”的频率估计概事，在给定误差范围内，计算估计的可靠性（可以用电子表格中的函数BINOM.DIST()计算）.设用fn(A)表示重复抛挪n次硬币，A=“正面朝上”出现的频率.

例如，有人认为：“用频率估计概率，重复试验次数越多，估计的结果就越精确。”但这样的表述并不准确，观察上面的计算结果，我们看到：做100次试验，频率与概率的偏差不超过0.05的概率为0.7287,做1000次试验，频率与概率的偏差不超过0.05的概率为0.9986.因此，用频率估计概率，比较严格的表述为：“当试验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小；当试验次数足够多时，用频率估计概率误差较小的可能性大”.

第五层次，大数定律.

设事件A的概率为p,fn(A)是n次试验事件A发生的频率，

第一层次、第二层次在初中已有初步认识，第三层次是高中的教学要求，第四层次可根据教学条件选择，第五层次超出了高中课程的要求.

3.探究与思考栏目的设计意图

随机事件发生的频率，既具有随机性，又具有稳定性.只有进行重复试验才能对此有较深刻的认识.教科书设计“抛挪两枚硬币的试验”，通过251页的“探究”与252页的“思考”，探究事件A=“一个正面，一个反面”发生的频率有什么样的变化规律.

每人做25次试验，相当于在试验次数较少时重复试验，通过比较事件A发生的频率，会发现频率不会完全相同，而且波动较大；小组做100次试验，再比较各组得到的事件A的频率，会发现频率也不会完全相同，但波动变小；汇总全班的试验结果，可能有1000多次试验，会发现频率非常接近A的概率0.5.再结合对模拟试验结果及折线图的观察，发现频率具有不确定性，但随着试验次数的增加，频率的波动幅度变小，逐渐稳定到一个常数.

4.例1、例2的设计意图

例1是根据频率和概率的关系，利用调查数据来判断“生男孩和生女孩是等可能的”的正确性，从决定新生婴儿性别的生物学理论看，“生男孩和生女孩是等可能的”，平常我们也经常做这样的假定，这个理论是否绝对正确呢？通过对大量调查数据的分析，发现生男孩的频率和生女孩的频率有明显的差异，结论是怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”，当然这样的判断还需要经过更客观的假设检验加以确认.

对某个随机现象，我们可以先提出一个理论概率模型（某事件发生概率的假定）,然后通过重复试验，用频率进行验证。反过来，对某个事件，也可以通过大量重复试验发现规律，从而建立概率模型，孟德尔遗传规律就是用这种方法得到的

例2通过甲、乙双方胜负的频率来判断“游戏是否公平”，进一步理解频率和概率的关系。

由于频率的随机性，如果玩的次数较少，难以从双方获胜的频率判断他们获胜的概率是否相等；如果玩的次数足够多，根据频率的稳定性，可以以很大的把握从双方获胜的频率判断他们获胜概率是否相等.

教科书254页思考栏目的意图是利用频率与概率的关系解释天气预报中的“降水概率”。从严格意义上讲，降水概率是一个主观概率，类似的还有预测两支足球胜负的概率，我们主要研究的是能够在相同的条件下重复进行观测的随机现象，而实际中很难在相同的气象条件下观测是否下雨，两支球队也很难在相同的条件下重复进行多次比赛.

5.教学建议

频率的稳定性是概率论的理论基础，用频率估计概率是获得随机事件概率的方法之一，也是一种重要的概率思想.只有深刻理解频率与概率的关系，才能更好地理解概率的意义.所以本节的教学应该对此给予足够的重视.

(1)应该让学生经历重复试验，收集、整理试验数据，利用图表表示试验数据，通过观察、比较发现频率的特征（随机性和稳定性）,提升直观想象和数据分析素养

(2)例1和例2的教学，应结合教科书第259页的“阅读与思考”，突出频率估计概率的思想.让学生体会用试验验证概率模型的合理性，或通过试验发现规律从而建立概率理论模型的思想.

【以上大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。】

二、教学目标

（1）了解频率与概率、频率的特性、概率与频率的关系，频率的稳定性等，同时结合实例，会用频率估计概率；

（2）通过观察、比较发现频率的特征（随机性和稳定性），提升直观想象和数据分析素养；

（3）增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。

三、教学重点、难点

【重点】

频率的稳定性