举个栗子说|核心素养之逻辑推理怎么考？

Original 阳光教研阳光备课 2023-02-05

收录于合集 #核心素养 16个

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一、逻辑推理是什么？

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。（概念内涵）

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。（学科价值）

逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。（学生表现）

通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力。（具体内容）

二、逻辑推理怎么考？

不同名词、动词...对应不同水平......

呵呵！！！！！！！！！！！！

详见下面列表：

（请左右对照，仔细体会！）

你看懂了吗？

字太多，

句子太啰嗦。

唉！！！！！！！

请左右对照，仔细揣摩！

左	右
...在熟悉的情境... ...	...在关联的情境... ...
…	…
…	…

原来

水平一、水平二、水平三（略）

都分四个小段。

每个小段依次是：

情境与问题、

知识与技能、

思维与表达、

交流与反思。

（我重读一遍）

每个小段依次是：

情境与问题、

知识与技能、

思维与表达、

交流与反思。

如下表所示：

结构是

左右对照，揣摩发现：

情境有三种，

分别是：生活情境、数学情境、科学情境

层次有三个

分别是：熟悉的、关联的、综合的

问题有三类

分别是：简单的、较为复杂的、复杂的

上述三个要素是构成数学核心素养水平划分的基础。

水平一：熟悉的情境，简单的问题；

水平二：关联的情境，较为复杂的问题；

水平三：综合的情境，复杂的问题

哈哈，排列组合。

三、案例剖析

这些是课标的案例，

题目很长，请仔细阅读。

案例1：街道距离问题

在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，从城市的一点到达不在同一条街道上的另一点，常常不能仅仅沿直线方向行走, 而只能沿街走（转直角弯）．因此可以引入直角坐标系，对给定的两点A(x1,y1) 和B(x2,y2) ，用以下方式定义距离：

d(A,B) =| x1 - x2| +| y1 - y2|.

（注：该问题中提到的“距离”都是指上述距离）

（1）证明：对任意三点A、B、C ，满足d(A,B) ≤ d(A,C) + d(B,C) ；

（2）画出到定点O(0,0) 距离等于1的点P(x,y)构成的图形，并描述图形的特征；

（3）设A(-1,0)、B(1,0) ，画出到A、B两点距离之和为4的点P(x,y) 构成的图形，并描述图形的特征．

“街道距离”在日常生活和一些游戏规则中都可以看见（问题与情境），

由此可以抽象出一种特殊的与欧式距离不一样的“距离”。解答此题要求学生首先能够理解新定义的“距离”规则，推出这种距离所满足的“距离公理”（即三角不等式），并利用这种距离来讨论欧式几何中的一些基本问题。当然，这里所需的数学知识并不复杂（知识与技能）。

此题在一定程度上反映了数学推理的一个特点，即依据给定的规则进行逻辑推理，同时要求描述图形的特征（思维与表达）。

对于问题（1），如果学生能够对平面上固定的A、B、C点说明d(A,B) ≤ d(A,C) + d(B,C) ，即可以认为达到逻辑推理素养水平一的要求；

如果学生对任意的A、B、C点得到该结果，即可以认为达到逻辑推理素养水平二的要求。

对于问题（2）和问题（3），只要学生画出基本符合要求的图形（如图2所示），即可以认为达到水平二的要求；

进一步，如果学生还能给出清晰的证明，即可以认为达到逻辑推理素养水平三的要求。

本案例还考查了学生的数学运算素养。

这是胡凤娟,保继光,任子朝,陈昂等专家的案例.

原课标案例如下：

【目的】说明如何考查学生数学抽象、直观想象和数学运算等素养达成的综合情况，体会“要关注数学学科核心素养各要素的不同特征及要求，更要关注数学学科核心素养的综合性与整体性。”

【情境1】在数轴上，对坐标分别为x₁和x₂的两点A和B，用绝对值定义两点间的距离，表示为d（A，B）=| x₁- x₂|。回答下面的问题：

（1）在数轴上任意取三点A，B，C，

证明

d(A,B)≤d(A,C)+d(B,C)。

（2）设A和B两点的坐标分别为和2，找出满足d（A，B)=d(A,C)+d(B,C)的点C的范围，再找出满足d（A,B)<d(A,C)+d(B,C)的点C的范围。

【情境2】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走。如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点A（x₁，y₁）和B（x₂,y₂),类比“情境1”中的方式定义两点间距离为

d（A，B)= | x₁- x₂|+| y₁- y₂|,

回答类似的问题：

（1）在平面直角坐标系中任意取三点A，B，C，证明

d（A，B)≤d（A,C)+d(B,C)。

（2）设A和B两点坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂,y₂),找出满足d（A，B)=d（A,C)+d(B,C)的点C的范围，再找出满足d（A，B)< d（A,C)+ d(B,C)的点C的范围。

【分析】考虑下面数学学科核心素养达成的等级划分标准。

对于“情境1”中的问题，基本上给出（1)或（2)的证明，可以认为达到数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算素养水平一的要求。

对于“情境2”中的问题，关键点是通过理解特殊的“两点间距离”定义，考查学生的直观想象和数学抽象素养。对于问题（1），如果学生能够对平面上固定的三点A，B，C，说明d（A，B)≤d（A,C)+d(B,C)，可以认为达到数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等素养水平一的要求，

进一步地，如果学生对任意的三点A，B，C，得到该结果，可以认为达到相应素养水平二的要求。

对于问题（2），只要学生画出基本符合要求的图形，就可以认为达到相应素养水平二的要求；进一步地，如果学生还能给出清晰的证明，可以适当加分。

【拓展】在“情境2”中的距离意义下，画出到定点O（0，0）的距离等于1的点P（x，y）所形成的图形。从上述距离的定义出发，给出“点到直线的距离”的定义，并计算已知点到已知直线的距离。

这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的案例23

案例2 四棱锥中的平行问题

【目的】以空间中的平行关系为知识载体，以探索作图的可能性为数学任务，依托判断、说理等数学思维活动，说明逻辑推理素养水平一、水平二的表现，体会满意原则和加分原则。

【情境】如图18，在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中，AB∥DC。回答下面的问题：

（1）在侧面PAB内能否作一条直线段使其与DC平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由。

（2）在侧面PBC中能否作出一条直线段使其与AD平行?如果能，请写出作图的过程并给出证明；如果不能，请说明理由。

图18四棱锥示意图

【分析】直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直等位置关系是高中立体几何内容的重点，也是教学的难点。设计开放性问题，让学生在运用与平行和垂直的相关定理进行判断、说理的活动过程中，提升直观想象和逻辑推理素养；通过这样的活动也可以对学生达到的相应素养水平进行评价。

（1）能作出平行线。具体作法是，在侧面PAB内作AB的平行线；因为AB与DC平行，依据平行公理，这条平行线也必然平行于DC。完成这个过程，说明学生知道在平面内作与平面外直线平行的直线，需要寻求平面外直线与这个平面之间的关联，依据满意原则，可以认为达到逻辑推理素养水平一的要求。

（2）需要分别判断。如果AD与BC平行，可以参照（1）的方法作出平行线。如果AD与BC不平行，不能作出平行线。用反证法进行说理如下：假设侧面PBC内存直线与AD平行，可推证AD与侧面PBC平行，依据性质定理，可推证AD与BC平行，这与条件矛盾。完成这个过程，说明学生能够理解直线与平面平行的相关定理以及定理之间的逻辑关系，依据满意原则，可以认为达到逻辑推理素养水平二的要求。