举个栗子说|核心素养之数学抽象怎么考？

Original 阳光教研阳光备课 2023-02-05

收录于合集 #核心素养 16个

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一、数学抽象是什么？

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。（概念内涵）

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。（学科价值）

数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。（学生表现）

通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。（具体内容）

二、数学抽象怎么考？

不同名词、动词...对应不同水平......

呵呵！！！！！！！！！！！！

详见下面列表：

（请左右对照，仔细体会！）

（点击图片，可大图阅读）

你看懂了吗？

字太多，

句子太啰嗦。

唉！！！！！！！

请左右对照，仔细揣摩！

左	右
...在熟悉的情境... ...	...在关联的情境... ...
…	…
…	…

原来

水平一、水平二、水平三（略）

都分四个小段。

每个小段依次是：

情境与问题、

知识与技能、

思维与表达、

交流与反思。

（我重读一次）

每个小段依次是：

情境与问题、

知识与技能、

思维与表达、

交流与反思。

如下表所示：

结构是

左右对照，揣摩发现：

情境有三种，

分别是：生活情境、数学情境、科学情境

层次有三个

分别是：熟悉的、关联的、综合的

问题有三类

分别是：简单的、较为复杂的、复杂的

上述三个要素是构成数学核心素养水平划分的基础。

水平一：熟悉的情境，简单的问题；

水平二：关联的情境，较为复杂的问题；

水平三：综合的情境，复杂的问题

哈哈，排列组合。

三、案例剖析

这些是课标的案例，请仔细阅读。

案例1：速度与路程问题

【目的】说明数学抽象素养的表现和水平，体会评价“在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则”的满意原则和加分原则。

【情境】学校宿舍与办公室相距a m。某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿含。在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，画出速度函数和路程函数的示意图。

速度与路程是日常生活中的基本活动（问题与情境），

我们通常可以把速度与时间、路程与时间的关系抽象为一种函数关系（知识与技能），

表达函数关系的数学方法包括解析式、列表和图像（思维与表达）。

本题中路程与时间的函数关系可用图1表示：

【分析】回顾课程标准的要求，在实际情境中能够用图象揭示图数性质，整体反映函数的基本特征。本题答案的示意图如图15所示。

解答本题时，能给出速度函数或路程函数的大部分示意图，根据满意原则，可以认为达到数学抽象素养水平一的要求；

能够完整画出速度函数和路程函数示意图（二者自变量一致），可以认为达到数学抽象素养水平二的要求。

本案例还考查了学生的直观想象素养。

这是《普通高中数学课程标准》（2017版）第145页的案例20

也是胡凤娟,保继光,任子朝,陈昂等专家文章的案例.

案例2：传令兵问题

【目的】说明数学抽象素养的表现和水平，体会评价“分析数学命题的条件与结论，在具体的情境中抽象出数学问题”的满意原则和加分原则。

【情境】有一支队伍长Lm，以速度v匀速前进。排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度不变。回答下列问题：

（1）如果传令兵行进的速度为整个队伍行进速度的2倍，求传令兵回到排尾时所走的路程；

（2）如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了Lm，求传令兵行走的路程。

【分析】

正确给出（1）的解答，可以认为达到数学抽象素养水平一的要

求；

正确给出（2）的解答，可以认为达到数学抽象素养水平二的要求。

这个问题也可以考查逻辑推理、数学运算等素养。

这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的案例21

案例3：覆盖问题

【目的】以平面几何为知识载体，以证明“周长一定的四边形中正方形所围面积最大”为数学任务，说明逻辑推理素养水平一、水平二、水平三和数学抽象素养水平一、水平二的表现，体会满意原则和加分原则。

【情境】设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是2L。回答下面的问题：

（1）当封闭曲线为平行四边形时，用直径为L的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形?请说明理由。

（2)求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大。

【分析】虽然问题涉及的知识不难，但由于问题中的封闭曲线是动态的、问题是开放的，因此需要一定的数学抽象和逻辑推理素养才可能抓住问题的本质。如果学生能够构建过渡性命题、完成概念的抽象过程，并且论证途径清晰、推理过程表述严谨，可以认为达到逻辑推理素养水平三的要求。

（1）首先，需要从生活语言到数学语言，表达清楚什么是完全覆盖。最初的生活语言可以是，周长为2L的平行四边形包含的点都在直径为L的圆面内，显然这个层面的表达是无法进行论证的；用数学语言可以表述为，周长为2L的平行四边形内的任意一点到圆心的距离不大于L/2，可是，这样的表述又脱离了完全覆盖的背景；因此需要在表述中加上条件，

例如让平行四边形的对称中心与圆的圆心重合。鼓励学生回顾并表述上面的思维过程。如果学生能够完成前两个过程，根据满意原则，可以认为达到数学抽象素养水平一的要求，

如果学生能够完成三个过程，根据加分原则，可以认为达到数学抽象素养水平二的要求。

如果学生能够得到可以完全覆盖的结论，但只是证明了平行四边形对角线的长度不大于L，说明学生已经有了论证的思路，但还没有理解完全覆盖的几何本质，依据满意原则，可以认为达到逻辑推理素养水平一的要求。

如果学生进一步证明平行四边形四个顶点到对称中心距离不大于圆的半径，但没有说明平行四边形内其他点的情况，说明学生理解了完全覆盖的几何本质，但证明过程还不够严谨，依据满意原则，可以认为达到逻辑推理素养水平二的要求。

如果学生能够完整证明平行四边形上的点到对称中心距离部不大于圆的半径，说明学生基本掌握了数学证明，依据加分原则，可以认为达到逻辑推理素养水平三的要求。

（2）可以启发学生，采用列举、筛选的方法考察各种形式的四边形，逐一排除面积较小的四边形，构建一个递进式的证明路径，如图19所示。

图19探索证明路径

如果学生能够独立完成上面的过程，说明对较复杂的新问题，能够直观想象、创造性地构建证明路径，依据满意原则，可以认为达到逻辑推理素养水平二的要求，

如果学生能够进一步用数学语言严谨地论证所得到的结论，根据加分原则，可以认为达到逻辑推理素养水平三的要求。

这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的案例25

文本来源：《普通高中数学课程标准》（2017版）

参考文献