举个栗子说|核心素养之数学运算怎么考？

Original 阳光教研阳光备课 2023-02-05

收录于合集 #核心素养 16个

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一、数学运算是什么？

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。（概念内涵）

数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。（学科价值）

数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。（学生表现）

通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。（具体内容）

二、数学运算怎么考？

不同名词、动词...对应不同水平......

呵呵！！！！！！！！！！！！

详见下面列表：

（请左右对照，仔细体会！）

你看懂了吗？

字太多，

句子太啰嗦。

唉！！！！！！！

请左右对照，仔细揣摩！

左	右
...在熟悉的情境... ...	...在关联的情境... ...
…	…
…	…

原来

水平一、水平二、水平三（略）

都分四个小段。

每个小段依次是：

情境与问题、

知识与技能、

思维与表达、

交流与反思。

（我重读一遍）

每个小段依次是：

情境与问题、

知识与技能、

思维与表达、

交流与反思。

如下表所示：

结构是

左右对照，揣摩发现：

情境有三种，

分别是：生活情境、数学情境、科学情境

层次有三个

分别是：熟悉的、关联的、综合的

问题有三类

分别是：简单的、较为复杂的、复杂的

上述三个要素是构成数学核心素养水平划分的基础。

水平一：熟悉的情境，简单的问题；

水平二：关联的情境，较为复杂的问题；

水平三：综合的情境，复杂的问题

哈哈，排列组合。

三、案例剖析

题目很长，请仔细阅读

案例1：迭代计算问题

本题设置的情境是典型的数学情境（问题与情境），

与常规数学运算题不同的是，此题不是考查学生准确而快速的计算技能，而是重点考查在理解运算背后的数学原理的基础上，发现合理的运算方法和程序（知识与技能），

对运算结果进行有效的估计以及对运算方向的准确把握（思维与方法）。

问题（2）如果学生逐个求出x1、x2、x3，…，再找它们之间的规律，即可以认为学生达到了数学运算素养水平一；

如果需要学生求一般的切线方程，进而求出切线方程与x轴交点的横坐标的一般形式，可以认为学生达到了数学运算素养水平二。

问题（3）在理解问题（2）的基础上，如果学生先找到x0，再通过简单计算得到，可以认为学生达到了数学运算素养水平二。

本案例还考查了学生的数学抽象和直观想象素养。

这是胡凤娟,保继光,任子朝,陈昂等专家的案例.

原课标案例如下：

【目的】迭代方法县现代计算教学的基本方法。借助用“牛顿切线法”和“二分法”求一元二次方程解的问题，考查理解运算对象、把握运算规律、表达运算过程、设计运算程序等一系列数学运算的思维活动，说明数学运算素养水平三的表现，体会满意原则和加分原则。

这是《普通高中数学课程标准》（2017版）案例34

案例2：过河问题

【目的】以平面向量的运算为知识载体，以确定游船的航向、航程为数学任务，借助理解运算对象、运用运算法则、探索运算思路、设计运算程序、实施运算过程等一系列数学思维活动，说明数学运算素养水平一、水平二和水平三的表现，体会满意原则和加分原则。

【情境】长江某地南北两岸平行。如图33所示，江面宽度d=1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸。假设游船在静水中的航行速度v₁的大小为|v₁|=10 km/h，水流的速度v₂的大小为|v₂|=4 km/h．设v₁和v₂的夹角为θ（0<θ<180°），北岸的点A′在A的正北方向。回答下面的问题：

（1）当θ=120°时，判断游船航行到达北岸的位置在A′的左侧还是右侧，并说明理由。

（2）当cosθ多大时，游船能到达A′处？需要航行多长时间？

【分析】回答这个问题需要几何直观下的代数运算。

（1）首先要知道游船航行速度是静水速度与水流速度之和，然后会按比例画示意图判断航行方向。如果学生能够用向量加法的平行四边形法则画出示意图、并给出合理解释，根据满意原则，可以认为达到数学运算素养水平一的要求。

如果学生把航行速度即速度之和表示为v，可以通过计算航行速度向量v与水流速度向量v₂之间的夹角进行判断，由

判断游船到达的位置在A'的左侧。说明学生不仅能够理解向量的加法，还能够根据题意，运用向量数量积运算求解向量之间的夹角，根据加分原则，可以认为达到数学运算素养水平二的要求。

（2）首先要将“游船能到达A'处”抽象为游船的实际航向与河岸垂直，即游船的静水速度和水流速度的合速度方向与相同，将合速度运算与平面向量的加法运算联系起来，画出速度合成示意图（如图34）。根据满意原则，学生能够面出向量加法示意图，可以认为达到数学运算素养水平一的要求。

说明学生能够将题目中提供的数据信息与几何图形有机联系，并且能够明晰运算途径、得到运算结果，根据加分原则，可以认为达到数学运算素养水平二的要求。

说明学生能够运用勾股定理建立方程求解，根据加分原则，可以认为达到数学运算素养水平三的要求。

【拓展】在本题背景下，可以设计数学运算素养拓展问题，例如当θ=120°时，游船航行到北岸的实际航程是多少?

为了回答这个问题，可以先依据题意画出向量加法的示意图，如图36所示，然后利用向量数量积运算求得

如果学生能够完成这个过程，说明学生能够综合运用向量的加法、数乘、数量积运算和勾股定理，恰到好处地设计运算程序、完成问题求解，根据加分原测，可以在数学运算素养水平三的基础上加分。

这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的案例32

案例3：隧道长度

【目的】以解三角形为知识载体，以隧道测量为数学任务，借助明确运算对象、探索运算思路、设计运算程序、实施运算等一系列数学思维活动，说明数学运算素养的水平一和水平二的表现，体会满意原则。

【情境】如图37所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α，β，γ。计划沿直线AC开通穿山隧道，为求出隧道DE的长度，你认为还需要直接测量出AD，EB，BC中的哪些线段的长度？根据条件，并把你认为需要测量的线段长度作为已知量，写出计算隧道DE长度的运算步骤。

【分析】由已经测料的三个角α，β，γ，依据平面几何知识可以知道，△PAB，△PBC的三个内角已经确定，进而形状已经确定，因此还需要通过确定三角形的边长来确定三角形的大小。进一步，为了能够计算隧道DE的长度，由解三角形的知识，可以推断出还需要确定所有线段AD，EB，BC的长度。

首先在△PBC中进行运算，依据正弦定理写出BC与PB（或PC）之间的等量关系式，表达出PB（或PC）。如果学生能够完成这个步骤，说明学生已经熟悉常规的解三角形问题及其解法，根据满意原则，可以认为达到数学运算素养水平一的要求。

如果学生能够继续在△PAB（或△PAC）中，由正弦定理写出PB与AB（或PC与AC）之间的等量关系式，用已知角度α，β，γ和测量得的线段AD，EB，BC长度正确写出线段DE长度的表达式，说明学生能够清晰表达图37中多个三角形之间的关系，并且能够探索出运算程序、正确实施，根据满意原则，可以认为达到数学运算素养水平二的要求。