北师大版七下册数学1.6《完全平方公式》知识点精讲
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知 识 点 总 结
1
完全平方公式：
(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2
派生公式：
(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2
(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab
典 型 例 题
1．已知2n+2﹣n=k（n为正整数），则4n+4﹣n=．（用含k的代数式表示）
2．已知实数x，y满足方程（x2+2x+3）（3y2+2y+1）=
3．已知(x+y)2=18，(x﹣y)2=6，求x2+y2及xy的值．
4．已知ab=9，a﹣b=﹣3，求a2+3ab+b2的值．
考点解析
完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征
(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;
(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.
(三)这两个公式的结构特征是：
1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;
2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);
3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.
(四)两个公式的统一：因为
所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
练习&解析
完全平方公式的基本变形：
(一)变符号
例：运用完全平方公式计算：
(1)(-4x+3y)²
(2)(-a-b)²
分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子解答：
(1)16x²-24xy+9y²
(2)a²+2ab+b²
(二)变项数：
例：计算：(3a+2b+c)²
分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(3a+2b+c)²可先变形为[(3a+2b)+c]²，直接套用公式计算。
解答：9a²+12ab+6ac+4b²+4bc+c²
(三)变结构：
例：运用公式计算：
(1)(x+y)(2x+2y)
(2)(a+b)(-a-b)
(3)(a-b)(b-a)
分析:本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即
(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)²
(2) (a+b)(-a-b)=-(a+b)²
(3) (a-b)(b-a)=-(a-b)
完全平方公式的巧妙用法
一、我们先来研究一下完全平方公式的几个关键变式：
(a+b)²=a²+2ab+b².
(a-b)²=a²-2ab +b².
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²).
(a+b)²- (a-b)²=4ab.
这四个公式中包含了：a+b，a-b，a²+b²，ab. 只要知道其中的任意两个式子，就可以求出另外两个式子.
二、完全平方公式还有个非负性：
(a+b)²≥0，
(a-b)² ≥0.
如果(x+b)²+(y-c)² =0，那么x=-b，y=c.
三、用配方法配出完全平方公式
如：a²+6a+10
=a²+2×3a+3²-3²+10
=( a²+2×3a+3²)-3²+10
= (a+3)² +1.
四、例题
例1 已知(a+b)²=7，(a-b)²=3，求a²+ab +b²的值.
【分析】结论中的a²+ab +b²，与完全平方公式还有一点区别，如果直接用公式，无法实现. 观察这个式子的特点发现，式子里蕴含了a²+b²，ab两个式子，我们分开求这两个式子，题目就变得简单了.
解：∵(a+b)²=7，(a-b)²=3，
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²)，
∴7+3=2(a²+b²)，
∴a²+b²=5.
∵(a+b)²- (a-b)²=4ab，
∴7-3=4ab，
∴ab=1.
∴a²+b²+ab=6.
例2 已知：m+n=3，mn=2，求m²+n²，(m-n)²的值.
【分析】m²+n²与m+n，mn之间的关系，可以用公式(m+n)²=m²+n²+2mn建立；(m-n)²可以用公式：(m-n)²= m²+n²-2mn求得，也可以用公式：(m+n)²- (m-n)²=4mn求得.
解：∵m+n=3，mn=2，
(m+n)²=m²+n²+2mn，
∴3²=m²+n²+2×2,
∴m²+n²=5.
∴(m-n)²= m²+n²-2mn
=5-2×2=1.
【分析】此时要通过条件，求出a+b和a-b，观察条件的特点，我们发现，可以使用公式(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab +b²分别求出a+b和a-b.
解：∵a<b<0，< span=>
∴ab>0.
∴(a+b)²= a²+b²+2ab=6ab+2ab=8ab，
(a-b)²=a² +b²-2ab=6ab-2ab=4ab.
例4 已知x²+y²-4x+8y+20=0，求x+y的值.
【分析】看到此题，第一反应往往是想通过对那一长串式子进行变形，变化出x+y. 但是，通过多次尝试，一般是不能实现的. 这个时候，我们还可以考虑分别求出x和y，然后再求x+y. 像这种一个式子里同时含有两个字母，而且每个字母都有平方的情况，我们考虑用完全平方公式对它进行变化. 常用的方法就是“配方法”，把完全平方公式配出来.
解：x²+y²-4x+8y+20
=x²-4x+2²-2²+y²+8y+4²-4²+20
= x²-4x+2²+y²+8y+4²
=(x-2)²+(y+4)²
∴条件可以变化为：
(x-2)²+(y+4)².
∴(x-2)²+(y+4)²=0.
∵(x-2)²≥ 0， (y+4)²≥0，而它们相加为0，
∴只能有(x-2)² =0， (y+4)²=0.
∴x=2，y=-4，
∴x+y=-2.
例5 求证：无论x为何实数，代数式x²-4x+5的值恒大于零.
【分析】观察这个式子，x²-4x+5里存在着完全平方公式，或者说，我们可以用“配方法”给这个式子配出完全平方公式.
证明：x²-4x+5
= x²-4x+2²-2²+5
= (x²-4x+2²)-2²+5
=(x-2)²+1.
∵(x-2)²≥0，
∴(x-2)²+1>0.
∴无论x为何实数，代数式x²-4x+5的值恒大于零.
例6 计算：503².
【分析】此题如果直接计算，计算量比较大，我们可以考虑使用完全平方公式.
解：503²=(500+3)²
=500²+2×500×3+3²
=250000+3000+9
=253009.
学与用
完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a－b)2=a2－2ab+b2是一组重要的乘法公式，它的应用非常广泛．本文从四个方面剖析完全平方公式，帮助同学们理解、掌握这个公式．
1.认清完全平方公式的结构特征
字母表示：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a－b)2=a2－2ab+b2.
语言表示：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.
结构特征：完全平方公式的左边是两个数的和或差的平方，公式的右边是二次三项式，首末两项是平方项，中间项是这两个数的乘积，且符号由左边的“和”或“差”来确定．
记忆口诀：
“首平方（a2），尾平方（b2），2倍之积在中央（2ab）”．
2.理解完全平方公式的几何意义
如图1，大正方形面积为(a﹢b)2，它可以看作是由两个小长方形和两个小正方形组成的，其面积可以表示为a2﹢ab+ ab+b2 =a2﹢2ab+b2，所以(a+b)2=a2+2ab+b2.
如图2，阴影部分的面积是(a－b)2，它可以看作是由大正方形的面积减去两个小长方形的面积和一个小正方形的面积得到的，即a2－2(a－b)b－b2=a2－2ab+b2，所以(a－b)2=a2－2ab+b2 .
3.明确公式中a、b的含义
4.学会运用完全平方公式进行计算
（1）直接运用公式
例1.计算：（－2x＋5y）2.
分析：把－2x看作公式中的a，把5y看作b，运用完全平方公式计算；也可以把两个加数交换位置，即变形为（5y－2x）2，把5y看作a，把2x看作b，运用完全平方公式计算.
解法一：（－2x＋5y）2
＝（－2x）2＋2（－2x）(5y)＋(5y)2
＝4 x2-20xy＋25 y2.
解法二：（－2x＋5y）2=（5y－2x）2
=(5y)2－2 (5y) （2x）＋（2x）2
＝25 y2-20xy＋4 x2.
（2）先变系数再运用公式
例2.计算：（b﹢c）（－b－c）.
分析：把第二个因式提出“－”号之后，再运用两数和的完全平方公式计算.
（3）变形后运用公式
利用平方差公式分解因式
利用完全平方公式进行分解因式
图文导学
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