一周数学丨特级教师推荐：用这10种方法，每道错题都能让学生受益
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十几年前，我在批改学生的数学作业时，一般是按传统的批改方式进行批改，即发现学生作业中的错误后，总是在作业上给予订正，数字错了改数字，式子错了改式子，推理错了改推理，学生不会做的我也在作业上写出解答……
一句话，哪里有错，哪里“见红”。但这样做，教师虽然费了不少精力，学生对错误的认识并不深刻。
其实，学生对错误的认识和纠正错误，一般有个过程：错在哪里——为什么错——怎样纠正——以前有类似的错误吗——今后如何避免这类错误。传统的批改方法则将这些过程由教师代替了，学生是否弄懂错误之处，教师并不十分清楚。
我在随后的教学实践中逐步探索采用“数学再生作业”的方法，比较有效地克服了上述弊端，收到了良好效果。
“数学再生作业”就是教师在批改作业的过程中，发现错误并不直接修改，而是通过符号、提示、质疑、借鉴、另解等批示方法，暗示其错误或错误的性质，或给出探索方向，由学生自己动脑动手，找到正确的答案，总结解题规律和解决新的问题。
综合起来，我大概实践了10种方法。
在学生作业错误之处，用不同符号表示不同的错误性质，暗示学生及时在作业旁纠正。
常用的符号有：
①画线叉号（______×），表示画线部分有错误，应纠正画线部分；
②缺漏号（∧、∨或＞、＜），表示这里有缺漏，暗示要补上必要的缺漏部分；
③疑问箭头（⇒？），表示这步推理条件不足，需补上推出箭头所指部分的条件；
④箭头叉号（⇒×），表示这步推理错误。
这是比较常用的方法，能启发和促进学生自我思考，及时纠正错误，也有助于教师因材施教，培养学生自我解决问题的能力和养成严肃认真的学习态度。
当学生作业错误较严重或错误较隐蔽时，应在该处给予提示。提示时，补充说明错误的性质、类型或适当给出解题方向。
【例】已知：直线AB、AC、AD等都和直线l垂直相交于点A。求证：AB、AC、AD等直线都在过点A而垂直于l的平面内。
证明：如图，因AB∩AC=A，故AB、AC确定平面α。又l⊥AB，l⊥AC，∴l⊥α。
而AD∩AC=A，故AC、AD确定平面α，即AD也在平面α内，且AD⊥l，故AB、AC、AD等直线都在过点A而垂直于l的平面内。
教师评语：
上述证明是不严谨的。因为由AB∩AC确定平面α，从而得出AC∩AD确定平面α，即AB、AC、AD共面是没有根据的。这显然犯了循环论证的错误，忽视了平面唯一性的证明。
这种方法有利于学生了解错误的性质和类型，提高学生纠正错误的信心，对于中、下水平的学生尤为有效。
根据作业错误情况提出质疑。质疑是一种暗示，学生弄清疑问的过程就是发现错误、纠正错误的过程。
【例6】求函数：
解：∵
∴
∴
教师评语：
等号成立的条件是什么？能找到满足
质疑常使学生感到愕然，愕然便使学生产生找出“错在哪里”的兴趣。这种方法符合学生的学习心理，值得提倡。
当学生作业错误较为严重，或错误之处较多，或解答很不完整，或书写很不规范时，可考虑让学生重做。
使用这种方法要谨慎，弄得不好会产生不良影响。最好能根据作业情况写出“友善的交谈”式的评语，使学生不会感到是惩罚和训斥，而是“善意的为难”。
【例7】化参数方程
解：原方程变形为
两式平方相减，得
教师评语：
其他几题做得不错，唯此题解法缺乏严密性，忽视了除数为零的情况。若能重做此题，对于提高你的全面分析问题的能力是很有帮助的。
批改学生作业时，若发现学生的双基不扎实，某些旧知识和技能缺漏较多，可编选一些与这些旧知识和技能有关的习题让学生进行还原练习。
【例】已知:
某学生解答错误较多，错误并不在于集合知识，而是解不等式时屡屡出错。我给出了下列题目要求该生进行还原练习。
教师评语：
看来你解一元二次不等式还不过关，请完成下列解不等式练习：
（1）
（3）
学生对某一类新知识作业中存在问题较多时，可以在作业上给出正确解法，同时安排一些类似的习题让学生进行强化练习。
【例】已知：
学生解答错误，教师给出正确解法，并给出下列两题强化训练（*）。
（1）已知a、b、c为
（2）解方程
*注：暗示学生利用非负数的性质来解。
为了帮助学生了解造成某类问题解答错误的原因和找到正确的解题方法，可以在学生作业上指明该题可借鉴课本、课堂笔记、学生现有的某本参考书的例题或习题的解答，使学生掌握这类问题的解答。
有时学生解题无误但方法不太好，也可以采用此法。这种方法给学生指明了自我学习、钻研的途径，有助于培养学生的自学能力，还可适当减轻教师订正作业的负担。
【例】不査表求 cos40°+cos60°+cos80°+cos160°的值。
解：原式=(cos40°+cos60°)+(cos80°+cosl60°) =2cos50°cos10°+2cos120°cos40°=……
作业中出现了使计算无法继续下去的局面。
教师评语：
请你再看看课本第204页例6的解答，它给出了这类问题的解题思路，即对三角函数进行各种分组化积之后，应使各项仅含特殊角的三角函数或不含特殊角的三角函数各正、负项能互相抵消。
作业中学生的解答无误，但本题尚有多种解法，为了使学生广泛地综合运用基础知识，提髙基本技能，更有效地发展逻辑思维，可以让某些学生（尤其是学有余力的学生）去探讨另外的解法。有时也可以指明另解的具体方向。
【例15】如图，已知：（1）半圆的直径AB长为2r；（2）半圆外的直线l与BA的延长线垂直相交于T，
求证：|AM| +|AN|=|AB|。
证明：…M、N两点在
∴
=
教师评语：
利用整体思想解题，恰到好处。我以为利用极坐标来证，简明易懂。你不想试试看吗？
任何一道数学题，都蕴涵着一定的数量关系或空间形式。深刻认识数学所反映的这种关系的推广或考察命题的特例等，引导学生进一步深人思考。
将数学问题引申是极为有益的学习方法，可以帮助学生深人研究数学问题，拓宽数学基础知识，切实提高解题能力。
【例】求数列1，0，1，0…的一个通项公式。
解：
教师给出评语，启发学生思考：
你能进一步考察下面数列的通项公式吗？
（1）1,0,0,1,0,0…
（2）a,b,a,b,a,b…
（3）a,b,c,a,b,c…
有意布置一些典型问题和需要用典型解法解答的问题，在学生解答问题之后，要求某些有较强探索能力的学生对这类问题和方法，或加以概括、小结，或加以充实、提高，或加以变化、推广，写出一篇数学小论文。
在指导学生撰写小论文的过程中，学生常常感到找不到选题，这种方法能有效地解决这个问题。
教师通过作业引导学生深人探讨，学生感到自然，写起来就会兴趣盎然。引导学生撰写数学小论文，符合学生内心的创造精神，同时也为他们将来进一步深人学习打下了基础。通过再生作业引导学生撰写数学小论文，是培养高水平数学人才的一条途径。
【例】你能用6个1组成一个最大数和一个最小数吗？
解：最大数为
教师评语：
最小数的写法还有多种形式，如
两名初一女生经过一个多月的研究，终于写了一篇《一个猜想及其 “推证”》的数学小论文，得出：n个1 (n>2)能组成结果为1的不同写法有
综上所述，我们可以看出，几乎学生所有的作业错误都能以再生作业体现出来（某些解答正确的作业也可再生）。
数学再生作业的每一题，就是一道新的作业练习题，而且是该生必须完成的一道练习题。有的是为了弥补缺漏，有的是为了纠正错误，有的是为了掌握解题格式，有的是为了进一步提髙学习水平而设置的。
这些不同形式的再生作业都是因人、因题而异的。它比统一的练习题更有针对性和实效性。学生的缺漏和错误往往能及时地通过再生作业得到弥补和纠正，使他们能步步跟上正常的学习，学有余力的学生的聪明才智也可以通过再生作业得到充分的发挥。当然，数学再生作业也不可滥用，否则将加重学生的学习负担。
本文已获作者授权，摘编自作者专著《任勇的中数数学教学主张》
作者丨任勇（厦门教育局副局长，数学特级教师）
图片丨花瓣网
编辑丨邹雪平
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