界面反射光的偏振态分析

作为一种波动，光在两种介质界面的行为，除方向改变和能流分配外，还存在相位跃变和偏振态的变化^[1]。利用光在介质界面反射时偏振态的变化信息，可以实现介质种类、密度（或浓度）和介质膜厚度等的监测，因此偏振技术在遥感、显微和液晶显示等领域有着广泛的应用^[3-7]。在大学物理和光学课程中，光的偏振属于波动光学部分的重点内容。但在目前大学相关教材^[1-2]中，关于界面反射引起的偏振态变化，仅直接给出定性结果，学生对这部分知识一般仅停留在简单记忆的层面上，并未理解其内在的成因。因此详细分析和探讨不同入射条件下界面反射光偏振态的变化规律，不仅可以使学生掌握界面反射光偏振态的分析方法、深入理解偏振态的变化规律，而且对于反射光偏振态信息在不同领域的应用具有一定的参考意义。

1 理论基础

光波入射不同介质界面时，为描述入射光和反射光电矢量的分量，建立如图1所示的局部直角坐标系。其中，p方向平行于入射面，s方向垂直于入射面，k沿相应光束的传播方向。对每束光而言，按p、s、k的顺序组成右手正交系。根据菲涅耳反射公式^[1]以及强度反射率的定义，可以推出反射光p分量和s分量的光强反射率表达式

其中为相对折射率。

2 自然光入射时反射光的偏振态分析

自然光电矢量的两正交分量，p分量和s分量的光强相等，即I_s=I_p。在界面反射时，两分量的光强反射率不同且两分量间没有固定的相位关系，所以反射光一般为部分偏振光。部分偏振光的偏振程度用偏振度来表示^[1]

（2）

其中，I_M和I_m分别为光通过检偏器后的光强极大值和光强极小值。这里，I_M=I_pR_p，I_m=I_sR_s代入上式，得

（3）

为直观地观察自然光入射时，界面反射光偏振态的变化情况，下面我们利用MATLAB软件，模拟分析不同入射条件下反射光偏振度的变化规律。

2.1 自然光由光疏介质入射光密介质

我们选取三种典型介质：海水、玻璃和单晶硅，其相对折射率依次增加，分别为1.33、1.5和3.42。当自然光从空气分别入射这三种介质表面时，利用式（1a)、式（1b)和式（3），可得反射光偏振度随入射角的变化曲线，如图2所示。

由图2可见，从光疏入射光密介质时，反射光的偏振度随入射角的增加，呈现先增大后减小的变化趋势。另外，随相对折射率增加，布儒斯特角增加，曲线前沿变缓，后沿变陡。此曲线也证实了大家熟知的事实：自然光正入射（i₁=0）和掠入射（i₁→90°）时，反射光偏振度P=0，为自然光；以布儒斯特角iB入射时，反射光偏振度P=1，为线偏振光。三种情形下的布儒斯特角依次为53.06°、56.31°和73.70°，此数值与利用布儒斯特定律计算的结果相一致。

2.2 自然光由光密介质入射光疏介质

当自然光分别从海水、玻璃和单晶硅入射到空气时，其相对折射率依次减小，见表1。利用式（1a)、式（1b)和式（3），可得反射光偏振度随入射角的变化曲线，如图3所示。

由图3可见，自然光从光密入射光疏介质时，随入射角从零增加至全反射临界角，反射光的偏振度也呈现与图2类似的先增大后减小的变化趋势。随相对折射率减小，布儒斯特角和全反射临界角减小（具体数值见表1），二者的差值迅速减少并趋近于零，同时偏振度曲线前、后沿均变陡。三种情况下布儒斯特角和全反射临界角的值，与利用布儒斯特定律和全反射定律计算的结果相一致。

以上自然光入射时，界面反射光偏振态变化的特点，使得我们可以利用常见的自然光，方便地获得线偏振光和不同偏振度的部分偏振光。

3 部分偏振光入射时反射光的偏振态

部分偏振光电矢量的两正交分量，p分量和s分量的光强不相等，即I_s≠I_p。在界面反射时，两分量的光强反射率不同且两分量间没有固定的相位关系，所以反射光一般仍为部分偏振光。将I_M=I_pR_p，I_m=I_sR_s，代入式（2）得其偏振度为

（4）

下面利用MATLAB软件，模拟分析不同入射条件下反射光偏振度的变化规律。入射的部分偏振光的偏振度P取0.5。

3.1 部分偏振光由光疏介质入射光密介质

选取三种典型情况进行分析，即部分偏振光从海水入射原油表面、从空气分别入射玻璃和单晶硅表面，其相对折射率依次增加，分别为1.12、1.5和3.42。利用式（1a)、式（1b)和式（4），可得反射光偏振度随入射角的变化曲线，如图4所示。

由图4可见，部分偏振光从光疏入射光密介质时，随相对折射率增加，布儒斯特角增大，依次为48.24°、56.31°和73.70°。当I_s＞I_p时，随入射角从零增加至90°，反射光的偏振度先增加后减小,最终降至初始偏振度0.5，即与入射光偏振度相同。随相对折射率增加，偏振度曲线前沿变缓、后沿变陡。当I_s<I_p时，随入射角从零增加至90°，反射光的偏振度呈现两次减小、两次增加，最终达到初始偏振度0.5。随相对折射率增加，偏振度曲线第一次减小和增加变缓、第二次减小和增加变陡。

3.2 部分偏振光由光密介质入射光疏介质

部分偏振光从原油入射海水表面、从玻璃和单晶硅分别入射到空气时，相对折射率依次减小，分别为0.89、0.67和0.29。利用式（1a)、式（1b)和式（4），可得反射光偏振度随入射角的变化曲线，如图5所示。

由图5可以看出，部分偏振光从光密入射光疏介质时，随入射角从零增加至全反射临界角，反射光偏振度的变化趋势，与部分偏振光从光疏入射光密介质时相似。但偏振度曲线前、后沿均变陡。随相对折射率增加，布儒斯特角和全反射临界角减小（具体数值见表2），二者的差值迅速减少并趋近于零。

部分偏振光入射时界面时反射光偏振态变化的这些特点，使得我们可以方便地改变部分偏振光的偏振度。

4 线偏振光入射时反射光的偏振态

若将入射线偏振光电矢量分解为两个正交的分量：p分量和s分量，则二者之间相位差为零或π。在界面反射时，两分量的振幅反射率不同，所以两分量的大小变化不同。又由于振幅反射率与入射角有关，所以两分量的大小随入射角变化。在不发生全反射的条件下，两分量间的相位差只有零或π两种情形，所以反射光仍为线偏振光，但振动方向与入射光不同，且随入射角变化。设入射线偏振光的振幅为的A₀，振动方位角为θ₁，则p分量和s分量的振幅及θ₁满足

设反射线偏振光的振动方位角为θ₂，则

（6）

代入菲涅耳反射公式[1]可得

（7）

若入射线偏振光经界面发生全反射，则反射光p分量和s分量的相位差为^[8]：

（8）

可见两分量间的相位差从零到π连续变化，因此反射光为椭圆偏振光。设椭圆偏振光的方位角为φ，椭圆率，其中a和b为其长轴和短轴的大小，则^[9]

（9）

（10a）

（10b）

下面对不同入射条件下反射光偏振态的变化规律进行模拟分析。选取常见的光疏介质空气和光密介质玻璃的界面反射的情况进行模拟。玻璃的折射率取1.58，入射线偏振光的方位角取45°。

4.1 线偏振光由光疏介质入射光密介质

当线偏振光从空气入射到玻璃表面时，利用式（7），可得不同入射方位角情况下，反射线偏振光方位角随入射角的变化曲线，如图6所示。

由图6可见，当线偏振光由光疏入射光密介质时，随入射角从零增加至90°，反射光振动方位角单调增加。随入射光振动方位角增加，反射光振动方位角变化幅度减小。这一特点使得我们可以选取不同的入射角，获得不同振动方向的线偏振光。三条曲线在入射角等于布儒斯特角时交于一点，也证实了大家熟知的事实：布儒斯特角仅取决于界面两侧介质的折射率，与入射光的偏振态无关。

4.2 线偏振光由光密介质入射光疏介质

当线偏振光从玻璃入射到空气时，若入射角小于全反射临界角，利用式（7），可得不同入射方位角情况下，反射线偏振光方位角随入射角的变化曲线，如图7（a）所示。若入射角大于全反射临界角，固定方位角θ₁为45°，利用式（8）、式（9）、式（10a）和式（10b），可得椭圆偏振光的椭圆率随入射角的变化曲线，如图7（b）所示。

由图7（a）可见，当线偏振光从光密入射光疏介质时，反射光振动方位角随入射角的变化与图5中各曲线的变化趋势相似。由图7（b）可见，随入射角增大，椭圆偏振光的椭圆率先增大后减小，在入射角为50.36°时达到最大值0.45。这一特点使得我们可以通过改变入射角，获得不同椭圆率的椭圆偏振光。

5 结语

从菲涅尔反射公式出发，分别对自然光、部分偏振光和线偏振光入射时，界面反射光的偏振态进行了理论分析。在此基础上，利用Matlab软件，模拟分析了不同入射条件下反射光偏振态的变化规律。关于界面反射光偏振态的理论分析和具体讨论，一方面可以使学生对反射光偏振态的分析方法和结论获得全面、清晰的理解和掌握，另一方面所得结论对改造光的偏振态以及反射光偏振态信息的应用具有重要的理论和实际意义。

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基金项目:  教育部高等学校大学物理课程教学指导委员会项目（DJZW201910hb）；河北省高等教育教学改革研究与实践项目（2019GJJG018）；河北大学线下一流课程（光学）项目资助。

通讯作者:  丁文革，女，河北大学教授，主要从事物理教学以及光与材料相互作用方面的研究，[e-mail]。

引文格式:  丁文革，王崇，张荣香，等. 界面反射光的偏振态分析[J]. 物理与工程，2021，31（1）：82-87,103.

Cite this article: DING W G, WANG C, ZHANG R X, et al. Analysis of polarization state of interface reflected light[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（1）：82-87,103. (in Chinese)

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