数学学习的五个教训

前不久，我家老大朵拉参加了2023年美国数学竞赛AMC8比赛。

AMC即美国数学竞赛，由美国数学协会主办，包括AMC 8，AMC 10，AMC 12，AIME及US（J）AMO。这种层层递进的竞赛体系甚至帮助美国选拔出了国际数学奥林匹（IMO）的国家队成员。 不过现在，AMC系列的很多比赛已经是全球性的，而且没有最低年龄限制，中国参赛者尤其多。

AMC8是其中最初级的一项比赛，参赛者主要是8年级以及以下年龄段的学生。

AMC8的满分是25分，朵拉得了20分。虽然AMC8的分数线目前还没有公布，但是根据以往的分数线，朵拉大概率能获得Honor Roll（成绩为前5%的参赛者）和Achievement Roll（给予获得15分的六年级以及以下年级参赛者）两张证书。

这样的成绩没有什么大不了的。中国参赛者的成绩普遍不错，甚至有小学二三年级就获得Distinguished Hornor Roll（成绩为前1%）的参赛者。

但是这个成绩对朵拉来说却很有价值。因为这个成绩已经比上一年高了6分，而且是在她自己备考的情况下获得的。

从小学二年级，朵拉的数学学习一直是自学为主，上课为辅。这一路也有不少教训。今天就回顾一下朵拉过去的数学学习，以及她AMC8的备考经历。

教训一：学习的过程是螺旋式上升，而不是火箭式上升

朵拉从小学二年级开始用可汗学院自学。可汗学院的数学课程难度不高，我们只是想同时促进朵拉的英语学数学，所以每天花的时间也不多。

但是三年级下开始，由于新冠疫情和双减政策，很多线下活动都没法开展，学校课业也大大减少了。朵拉的空闲时间因而大大增加，学习进度开始突飞猛进。到了四年级的时候，我们突然发现，她竟不知不觉地学到了可汗数学的初中课程。 这也太快了吧！所以我们赶紧让她停下脚步。

真正带来警醒的是一则电话。当时有一个培训机构来电话要我们报班，我说不用不用孩子都自学到初中了。对方老师就拿出一张五年级的考卷，让我们测试一下。我们信心百倍地让孩子测试了一下，发现她一道题也不会做。

她都忘记了。

自适应学习App往往会鼓吹两点优势： 一是细分知识点，方便让学生按照自己的需求进行个性化学习；二是逐级上升，只要过了阶段性测试，就可以一直往上学习，上不封顶，给学有余力的学生提供了发展空间。

但是这两个优势实际上也是劣势。

因为学生掌握了单一知识点，不等于能够对各种知识综合理解和运用。而很多自适应app的阶段性测试难度不高，或者仅限单一阶段的知识点考察。所以无法评估孩子的综合理解和运用能力。

由于缺乏真正有挑战的阶段性测试，自适应学习的app和网站会给学生一个错觉——学过了知识点就相当于已经掌握了知识，可以立刻往前学。这样基础很不扎实，看似很有成就感，实际上是虚幻的进步。（六年实测20个教育App， 哪些真正靠谱？）

复盘以后，我们就从三方面来改进。

先是补漏，即把可汗的小学到初中的数学课程从头学了一遍。方法就是重做单元测试题，只要不是全对，就把错题相关的知识点讲解视频重新看一遍，然后做相关的练习。就这样扎扎实实地查漏补缺。

然后是做额外的练习题。我们找了IXL.com，这是美国一个K12的做题网站，题的难度不高，但是题型丰富，题量极大。这个网站最大的特点就是只要错一道题，就会让你做很多类似的题。虽然每个知识点只有10到20道题，但是一不小心，就会陷入反复做题的大坑。朵拉某次就在一个知识点上做了1个小时都停不下来，急得大哭。最后，朵拉爸陪着她一步步梳理，才发现她的问题是做题不爱打草稿，或者跳步骤。改掉做题的坏习惯，正确率就高了。

第三步就是提高难度。由于可汗的整体难度较低，在朵拉学完可汗后，我们就找了另外一套教材——由AoPS（https://artofproblemsolving.com）网站出的系列教材。 这套教材对概念的解释和推导非常清晰有条理，例题有难度而且具有灵活性。

另外，这套教材也是英文的，所以符合我们英语数学同时学的初衷。

朵拉英文书读得多，但很少做专门的英文阅读理解训练。我觉得数学教材就是很好的阅读理解材料。如果能把英文教材搞懂，把题目做出来，不就说明理解了吗？

除了教材，朵拉还会做AOPS的网站题库Alcumus。这套题库有大概13000多道题，涉及初高中的所有知识点。题型多样，每一个知识点大概有30-60道习题。每一道题都会标注相关的知识点和难度。题目难度级别从1到25。

和教材一样，Alcumus也非常适合自学者。一方面它是自适应的，会根据学生的难度来提供相适配的题目。更重要的是，每一道题不仅有答案，还详细介绍了多种解法和相关的知识点。方便学生了解自己的问题所在。

相比之下，国内的习题册很少会配有如此详细的解析，更少有这样免费、丰富并带有详细解析的题库。

采用AOPS教材后，朵拉的学习方式也变了。过去她先看讲解视频，然后再做相关的练习题。如果做错的话，就重新去看视频或者找朵拉爸。这还是一个先教后学的过程。

现在朵拉爸要求她先看书，然后做书和网站上的练习。如果做不出来，就先看答案和解析。如果还没有搞懂，就重新去看书。实在不行了，再找爸爸。但是爸爸也不会像过去那样告诉她答案，而是通过提问来引导她思考，两个人一起解题。这等于是先学后问了。

尽管只是在学习流程上去掉了视频这一步，却促使她更多地主动思考。通过读书来自学和通过看视频来自学，可以说是由难到易和由易到难两条路。一开始是很难的，朵拉也会因为看不懂而哭。不过慢慢地，她就适应了。 

我周围的大部分孩子，一般用国内教材或者天天练或者洋葱数学之类的app来自学，用的教辅也是国内的练习册。那么是不是可以避免陷入“大幅超前”的幻觉呢？ 

不一定。如果单纯相信自适应网站的报告，如果更愿意“一直超前学”，比较少去全面考察孩子的综合水平，就可能会产生掉入“超前学一直爽”的陷阱。

不知道你们有没有让孩子开始自学？在自学的过程中是否会遇到类似的问题？又是怎么解决的呢？

教训二：心急吃不了热豆腐

当然，朵拉也参加过课外培训班。她参加的课外培训班强调兴趣和思维的培养，几个孩子在老师的引导下花很多时间讨论题目，但并不会为比赛安排备考。孩子学得还是很开心的。

但是课外班是线上的，随着学校越来越多地开展网课，我们不得不停止课外班，以保护视力。从此她就彻底在家自学了。

最初朵拉每周有两到三次数学学习，每次40分钟。在40分钟里，她需要自己看书，做书上的例题和AOPS网上的习题。

这40分钟都是她自己学的。直到她做题遇到困难才会找爸爸。但爸爸也是陪伴为主。也就是说，在朵拉做不出题的时候，就让她坐在爸爸身边重新做。爸爸则在一边做自己的事情。如果她实在做不出来，爸爸再去看题目和后面附的解析，然后讲给她听。

很有意思的是，尽管爸爸一言不发，但是在爸爸身边她居然能够把一些原来不会的题做出来。这可能是爸爸带来的情绪价值吧。

自学，也要有个阶段性的目标。我们决定让朵拉参加AMC8的竞赛。

AMC8虽然是让等于或者低于8年级的学生参加，其实有越来越多的低年龄段学生参与。因为考试的知识范围大部分是小学高年级到初二的知识点。通过比赛，可以进一步巩固小升初的知识和技能，也可以拓展一些奥数范围内的知识。但是总体难度是低于国内的奥数比赛。

我们当时觉得，五年级的朵拉还是适合这个比赛的。况且，国内都有二三年级参赛了。但是朵拉以前的培训班老师提醒我，不能期望过高。因为这个比赛还是很有挑战的。而朵拉的年龄还比较小。现在想起来，老师的提醒是很正确的。

至于她的英文水平，在比赛中倒是不占什么优势。因为AMC8是双语的，对中国学生十分友好。

我们让朵拉参加这个比赛，还是因为这个比赛属于比较靠谱而且方便的活动。国内的很多比赛，要么遮遮掩掩，要么必须通过特定的培训机构或者学校，要么因为转型线上质量大大下降。AMC8很权威，题目质量高，而且谁都可以报名，费用也不高（120元）。

报名之后，问题就来了。首先，我们发现涉及比赛的不少知识点朵拉还没有学到。因为竞赛涉及的知识点还是比较广的，比如数论、组合、概率等等。 其次，她也缺乏考试技巧，不知道做题时如何进行时间分配。我们也没有经验，没法指导她。

所以在做了几套不太成功的模拟卷后，我们就开始加大了学习强度。

朵拉爸爸找到过去10年来的AMC8真题，并且花了几天按照专题分门别类地整理，有一次甚至整理到凌晨三点。朵拉就按照专题来进行学知识点-刷题-学知识点这样的循环。

同时，我也给朵拉找了辅导老师。国内的AMC8的辅导班非常紧俏，很难报上名。最后朋友帮忙联系到一位国外的老师，给她上几节冲刺答疑课。朋友说唯一的问题是这位老师有比较浓重的印度口音。

这对朵拉不是问题。她长期学习可汗的经历终于发挥了作用。老师讲解得非常清楚。但当时明白了，类似的题目她还是不会做。

到了最后一个月，我们全家都陷入冲刺的情绪。朵拉做得好，大家就开心；做得不好，气氛就有点压抑。到后来，朵拉每天都要做一张卷子，然后在网上看相关的解题视频。整个人崩得非常紧。

到了比赛前两周，朵拉觉得眼睛不舒服。我带着她去查视力，医生给出警告，说她的视力储备已经非常少了。

于是，我们彻底抛弃了之前的备赛方案，从冲刺改成了 “重在参与”。最终在比赛中她获得了14分，和Achievement Roll（15）的奖励只差一分。

比赛经历给我最深刻的教训是，心急吃不了热豆腐。朵拉其实从知识、能力和经验上，并没有做好准备。在短短的几个月时间里，指望通过疯狂刷题和找老师补课，是不能拔苗助长的。另外，这次近视警告，也让我们重新从长远角度来看待对孩子的期望，到底什么是重要的？

教训三：与其偶尔高强度学习，不如持续稳定的轻度学习

比赛结束后，朵拉继续自学。但她没有继续往前学，而是把之前备赛过程中发现的薄弱项继续补齐。

我们还打算继续参赛。但是这次的目标不是得高分，而是借比赛这个工具来夯实和巩固她现在所学的知识。

目标变了，心态也变了，做法也变了。

首先，我们就决定不再找老师。爸爸的辅导也越来越趋向于陪伴和提问，而不是讲解。（家长免崩溃辅导法）

其次，我把朵拉的学习时间做了调整。她以前是每周两到三次，每次40分钟。这40分钟里，她除了看书，差不多可以做10道题。我改成周一到周五每天都要学习，每次只做5道题。周末集中整理和复习错题。这样每次的学习时间减少了，但是总量不变。

几个月下来，变化非常明显。朵拉每次学习只花15分钟，积极性比以前高多了，做题的正确率也提高了。

当然，我必须提醒自己，不能因为她学的时间少了，就增加她的学习任务。

另外，我也不再因为她做错题而焦躁。有一次她突然告诉我连续做四道题都错了，她问我还要不要继续做下去。我说当然要做了。做完五道题就行。至于错误，可以周末都时候复盘。

在这样比较宽松的情况下，虽然朵拉总体的学习量并没有太大的变化，但是她的学习积极性比以前高，而且更有自信了。看来，高频率稳定地学一点，比一段时间集中高强度的学习，效果要好得多。

腾出来的时间，就用于劳动和体育锻炼。

当时疫情还很严峻，学生们都在家上网课。她也和弟弟一起每天给全家做早饭，并且分担了一半以上的午饭工作。（培养“天选做饭人”，就用这三大工具）同时，朵拉还花了更多时间去户外溜冰或者游泳。后来游泳馆关闭了，就每天跑步5000米。（如何在学习不落后的同时坚持体育活动？）

最近我带朵拉去做了检查，很高兴得知：尽管上个学期网课不断，她的视力并没有太大的退步。

教训四：国外的奥数比赛没有中国考试难，中考也没有想象那么简单

除了AOPS的同步习题之外，我也希望找一些其他的阶段测试方式来看一下水平。但我不想用AMC8的真题。这些真题还需要在冲刺前使用。

我的办法是用中考卷。

2022年是双减后第一次中考。所以当年全国不少地区的中考卷难度下调了。像北京的卷子甚至被认为是“小升初”难度。

这对朵拉来说，不是正好吗？

用中考卷，也可以看看学国外教材会不会让朵拉水土不服。我们选择国外教材和教辅，除了可以提高英语阅读理解能力，也是为了避免她提前学而厌倦学校课堂。但是中外教材到底有什么差别？对于在公立学校求学有什么影响，我们也是不知道的。

所以我买了一套全国各地的2022年数学中考卷。

为什么不选择北京地区的模拟卷呢？因为毕竟朵拉不是在冲刺中考。到了朵拉初三的时候，学校自然会让她刷大量的本地卷子。我的目的还是让孩子了解自己在国内教育体系里是什么样的水平，还有哪些地方需要补足。也了解一下北京的卷子在全国属于什么样的难度。

朵拉很担心地问我：“中考卷对我来说是不是太难了？“

我说：“大家都说是小升初难度，不正适合你嘛。再说了，你也学了不少初中的知识。“

朵拉又问：“如果我做得不好呢？”

我说：“你是小学生。你只要去做了，你就是全村最靓的仔。你做得再差也是应该的。”

于是，她每周做一套中考卷，到现在已经做了包括北京、重庆、杭州、广州和苏州五套中考卷了。做这些卷子给她的冲击还是很大的。

首先，她发现中考卷并没有人们说的那么容易。尤其是重庆卷，有的题她就算看了答案解析还是做不出来。根据朵拉的感受，这五套卷子里，最简单的是广州的（满分120分她得了108分），最难的是重庆的（满分150分她得了48分）。被很多人视为“小升初”难度的北京卷在全国也只处于中间位置。

朵拉说：“我要是去广州读书就好了。”

我说：“你到了广州，可能考不上高中。因为大家分数都高。”

总体来说，朵拉觉得国内的中考卷比AMC8难多了。为什么呢？因为国内的考试强调计算能力，而且压轴题往往会综合考察学生对于不同的知识点的理解和运用。

相比之下，AMC8比较重视知识点的广度，并且出题灵活新颖，但没有那么重视计算能力。

单纯依靠刷题是不能对付AMC8这类比赛的，但是在AMC8比赛上取得高分的学生，也并不一定能赢下中考。

对于朵拉来说，更清楚了：提前学，不等于学得好。要真正搞定初中数学，还差得远呢。 

此前，很多人对2022年北京的中考卷表示不屑，因为卷子最开始有一道选择几何图形的“送分题”。但是朵拉觉得，北京卷相对容易，是因为其最后的大题有好几道证明题，并不强调计算，所以不容易错。

事实上，根据卷子最前面的几道题来判断难易并不合适。 比如苏州卷是朵拉自己选做的，就是因为前面有一道相当于小学三年级水平的数字比较选择题。等她做下来，才发现也没有那么容易。

相反，重庆卷的压轴题，既有知识点的综合考察，又有计算要求，就不容易做对了。

虽然中考卷她做得也不怎么样，但是朵拉心情不错。一则，她觉得自己见过世面了。连中考题都做过了，还会怕AMC8嘛。二则，她觉得中考资源比较多，备考很方便，对未来的学习更有信心。

她说：“我现在才六年级，等我初三了，我就厉害了。”

复盘中考卷和平时的学习方式差不多。朵拉爸要求她先自己重新做一遍错题。如果做不出的，就去看答案解析，如果遇到像重庆卷的压轴题那种解析也看不明白的时候，就去B站找相关的讲解。B站有很多中考题的讲解视频。而且视频上经常会有“太难了，太难了”等等弹幕飘过。看到那么多人和她一样不懂，朵拉瞬间治愈。

这样的自学过程和她在学校或者用可汗的学习方式是很不一样的，是先自己读书做题，自己复盘，然后看解析，自己都无法解决了再去让别人给自己讲。这样，就大大减轻了朵拉爸的辅导量，也大大增强了她的自信心。

朵拉的第三个收获，就是提前了解了初中数学学习的方向。

为了具体了解朵拉的弱项，我让她把错题分为两类，一类是自己学过相关知识点但是依然错误的题目；另外一类是自己根本没有学过的题目。这样虽然错的比较多，但是她心态还不错。很多时候做错了也不是她的问题嘛。

她发现，自己需要补三点：几何与函数的知识，计算能力以及综合运用各项知识的能力。这三点里，唯有计算能力是目前她的自学没有涉及到的，于是之后她主动要求增加计算能力的训练。

教训五：备考时复盘错题比大量刷题更有效

到了赛前一个月，朵拉进入了冲刺阶段。

去年比赛的冲刺阶段，朵拉就是反复刷真题和恶补知识点。今年，她的知识点差不多补全了，只需要按部就班地做AOPS题库上自己薄弱项的习题。同时，她也每周刷真题卷，总共刷了四五套。

但是这次做卷子，我给她找了一个伙伴，也是同年龄的要参加AMC8的学生。他们每周做同样的卷子，然后在线上讨论自己做的错题，把解法讲给对方听。

两个小朋友积极性很高，务求清楚介绍自己高妙的解法，讨论中经常口出各种定律、定理什么的。

到了考前三天，朵拉什么题也不刷了，专注于自己在AOPS题库上做过的所有错题。在过去的一年里，她总共整理了182道错题。每一道错题里，除了题目和官方解析，朵拉还添加了相关的知识点和自己做错的原因。

我查看了她的错题本，发现她最初的错题难度级别通常是10多级，到后来就变成20多级，这也说明朵拉一直在进步。

在这三天里，朵拉爸还让她反复熟悉AMC8的考试流程。去年的比赛，整个流程爸爸帮了很多忙。而且考试的时候，爸爸也在房间外一直陪着她。今年一切都是她自己摸索。考试一开始，我们全家就出门去溜冰了，直到她考完才回家。

自学的三点原则

朵拉现在又重新回到日常学习当中，即继续用AOPS的教材和其网站的习题来学习，并加强了计算能力的训练。

但是，我觉得未来朵拉的学习进度一定会放缓。过去三年孩子有这么多时间去学习，很大程度是疫情的缘故。但是随着疫情封控政策放开，孩子的活动就更丰富了，未来初中学习也会更紧张。对于朵拉这样并不算有多少天分的普通孩子，这样大幅超前学习的日子恐怕不会再有了。 

不过我很欣慰的是，朵拉的确形成了一套自学方法和三点原则：一是保持良好的心态，不要被比赛或者考试绑架，而是要利用这些工具来为孩子查漏补缺；二是要持续、稳定地少量学习，而不是短时间集中大量输入； 三是要中外的学习资源结合，相辅相成。

我相信未来这样的方式会拓展到更多领域的学习。

希望这篇文章对你有帮助。接下来就介绍一下朵拉用过的教学和教辅。

主要教材：

可汗学院

AOPS系列教材和网站

这是AOPS系列朵拉学的课本。整个系列还有更多的教材。如果买不到书，可以直接去网站上购买AOPS系列教材的电子版或者看AOPS免费的题库Alcumus。Alcums里小学六年级到高三的习题，也包括AMC系列竞赛以及其他知名竞赛的真题。

主要教辅：

国内教辅朵拉用得相对少一些，主要是为了增加对中考的认识和提高计算能力。

小升初严选计算600题

天利38套中考试题精选（数学）

三招过关

这是老二闹闹用的。闹闹目前也在用可汗学院自学。吸取了姐姐的教训，他同时也加强了计算能力的训练。这套计算习题册属于课内稍有提高，量不大，但是题型丰富灵活。闹闹用的是沪教版。但是人教版也可以。如果是小学六年制的又用了沪教版，可以在六年级补一个人教版的三招过关。

主要读物