一道综合性很强的题目（18年12月13日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第706天给出奥数题讲解。

今天的题目是数论问题，

解题所用知识不超过小学5年级。

题目（5星难度）：

有两个相邻的自然数，它们的数字和都是13的整数倍，请问这两个自然数的和最小是多少？

讲解思路：

这道题属于数论问题，

既考察了倍数的知识，

又考察了孙子点兵问题，

还考察了对方程的掌握情况，

是非常综合的题目。

由于涉及两个相邻的自然数，

首先思考这两个数的个位是多少，

接着结合数字和是13的整数倍，

得到这两自然数的其它特点，

然后判断它们的和什么时候最小。

步骤1：

先思考第一个问题，

这两个数的个位数分别是多少？

两个相邻的自然数，

个位数只有两种情况，

要么是9和0，要么是n和n+1,

其中n是比9小的自然数。

如果是n和n+1的情况，

则它们的数字和也只相差1，

不可能都是13的整数倍。

因此它们的个位数是9和0，

其中个位为9的自然数比较小。

步骤2：

再思考第二个问题，

较小的那个数末尾有多少个连续的9？

假设较小的数末尾有k个连续的9，

且假设较小的数的数字和是a+9k,

则较大的数末尾就有k个连续的0，

且较大的数的数字和是a+1。

根据题意就有a+9k是13的整数倍，

而且a+1也是13的整数倍，

故9k-1也是13的整数倍。

这有点类似于孙子点兵问题，

同时也属于不定方程的问题，

做法是先寻找满足条件的最小自然数，

然后所有满足条件的数k都相差13，

本题中k=3,16,29，……。

注：如果对孙子点兵问题不熟悉，

步骤3：

综合上述几个问题，

考虑原问题的答案。

要让这两个数的和最小，

就是要让这两个数都最小，

为此考虑其中较小的那个数。

应该让较小的数末尾连续的9最少，

从步骤2知道连续的9最少有3个。

在末尾只有3个连续的9的情况下，

要保证数字和是13的整数倍，

较小的数的数字和最小是39，

此时满足条件的数最小是48999，

因此这两个数最小是48999和49000，

所以答案是48999+49000=97999。

思考题（4星难度）：

小明想找到3个相邻的自然数，使它们的数字和都是13的整数倍。请问小明的想法能实现吗？

微信回复“20181213”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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