重庆某中学小升初真题（补发：18年12月29日）

由于我的疏忽，

昨天的题目出了一点错误，

今天更正后重新发出来。

给您带来不便，敬请谅解。

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第722天给出奥数题讲解。

今天的题目是数论问题，

来自重庆某中学小升初真题，

所用知识不超过小学6年级。

题目（5星难度）

有两个互不相同的正整数，它们的和是完全平方数，它们的乘积等于和的36倍。问满足条件的正整数有多少对？

讲解思路：

这道题属于数论问题，

解题的第一步是写成数学表达式，

假设这两个数是m和n，且m>n，

则m+n=p^2，其中p是正整数，

(注: p^2表示p的平方。)

且m*n=36*(m+n)。

写出数学表达式以后，

寻找m和n需要满足的条件。

注:把文字写为数学表达式，

是所有数论问题的第一步。

步骤1：

先思考第一个问题，

n是不是p的整数倍？

因为m*n=36*(m+n)，

化简即m(n-36)=36n,

则m=36n/(n-36),

则m+n=36n/(n-36)+n=n^2/(n-36),

另一方面m+n=p^2,

故n^2/(n-36)=p^2，

即:n-36=(n/p)^2,

由于n-36是整数，

因此n是p的整数倍。

步骤2：

再思考第二个问题，

m是不是p的整数倍？

类似与步骤1的做法，

可以得到n=36m/(m-36),

同样的有m+n=m^2/(m-36),

最后可得m-36=(m/p)^2,

由于m-36是整数，

因此m是p的整数倍。

步骤3：

综合上述几个问题，

考虑原题目的答案。

由于m*n=36*(m+n)=36*p^2，

即(m/p)*(n/p)=36,

根据步骤1和步骤2的结果，

m/p和n/p都是正整数。

假设m/p=a，n/p=b,

由于m>n，故a>b，

也就是要a*b=36,

结合a>b的条件对36分解因数，

36=1*36=2*18=3*12=4*9，

b和a可能的取值有4种，

分别是1和36，2和18，3和12，4和9。

代入到n-36=b^2和m-36=a^2中，

可以得到m和n可能的取值有4组：

第一组：m=1332,n=37;

第二组：m=360,n=40;

第三组：m=180,n=45;

第四组：m=117,n=52。

注:如果只是要得出原题答案，

在得到b和a可能的取值有4种即可。

思考题（3星难度）：

小明说他找到两个不同的正整数，它们的和等于它们的乘积。请问小明说的对吗？

微信回复“20181229”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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