佛山市测试教师水平的题目，小学生也能做，大学生也不一定会做（19年11月22日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第1034天给出奥数题讲解。

今天的题目是综合应用题，

来自2019年佛山市青年教师解题能力展示，

详细讲解后小学5年级学生也能听懂。

题目（单选题，5星难度）：

某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分。若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数最少是 (  )?

A.4    B.5   C.6    D.7

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于综合应用题，

要说明参赛人数最少是n个人，

首先要说明少于n个人都不可能，

其次要构造出n个人的比赛满足条件。

注意到每一个人的比赛场次，

都不小于获胜场次与平局场次之和，

这就是本题的突破点。

总的解题思路是：

假设冠军获胜了a场，平局了b场，

先考虑a的范围，

再考虑b的范围，

最后考虑参赛人数的最小值。

步骤1：

先考虑第一个问题，

a的范围是多少？

由于冠军得分比其他人都高，

故冠军得分一定大于平均分。

n个人进行单循环比赛，

每个人都比赛n-1局，

总共需比赛n(n-1)/2局，

每场比赛都能产生2分的得分，

故所有人总分是n(n-1)，

则每个人的平均分是n-1分。

如果冠军1局比赛都没有获胜，

则冠军最多是平n-1局得n-1分，

这与冠军得分比平均分高矛盾，

因此冠军至少要获胜1局比赛，

即a>=1。

步骤2：

再考虑第二个问题，

b的范围是多少？

冠军获胜a局平了b局，

则冠军得分是2a+b。

由于冠军获胜场次是最少的，

故其余人至少都获胜了a+1局，

则其余每个人得分至少是2(a+1)。

根据冠军得分比其余人都高可得：

2a+b>2(a+1)，

化简即：b>2。

在这种情况下冠军平了至少3局，

对任意一个与冠军战平的人来说，

他至少获胜a+1局且平一局，

他的得分至少是2(a+1)+1。

根据冠军得分比其余人都高可得：

2a+b>2(a+1)+1，

化简可得b>3。

因此b>=4。

步骤3：

综合上述两个问题，

考虑原题目的答案。

根据步骤1和2的结论可得，

a+b>=5,

由于冠军的比赛了n-1局，

故n-1 >=  a+b >= 5,

因此n一定不小于6。

下面将构造出6个人的比赛满足条件：

假设这6个人是A,B,C,D,E,F，

A得6分，胜B，平C,D,E,F，

B得4分，胜C,D，输给A,E,F，

C得5分,平A,胜D,E,输给B,F,

D得5分,平A,胜E,F,输给B,C,

E得5分,平A,胜B,F,输给C,D,

F得5分,平A,胜B,C,输给D,E。

则冠军A获胜场次最少得分最高。

所以参赛人数最少是6个人。

思考题（4星难度）：

6个人进行中国象棋比赛，采用单循环制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分。若冠军获得者得分比其他人都多，则比赛得分最低的人，最多可能得多少分?

微信回复“20191122”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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