王中林院士《Mater. Today》：论运动带电介质体系中的拓展型麦克斯韦方程组–基础理论、数学解、及其应用

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麦克斯韦方程组在电磁学与经典电动力学中的地位，如同牛顿运动定律在牛顿力学中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是当代无线电波，通讯和光理论的基石。作为经典物理学最引以自豪的成就之一，麦克斯韦方程组揭示出电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信仰：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。为此目的，多少顶级科学家几经做了百年的努力，但最终目的还没有达到。我们从课本中熟悉的麦克斯韦方程组是它的微分形式：

而这微分形式的麦克斯韦方程组是从四大物理定律所推导出来的，这四大定律的积分形式分别为：

必须指出的是方程式(1d)和（2d）中右手第二项是麦克斯韦1861年为了满足电荷守恒定律而数学上另外加的一项，称为位移电流。这一项的添加完成了电和磁的统一，发展出电磁波的理论，发展出了天线广播、电视电报、雷达微波和无线通信技术。电磁的统一产生了光的理论，又给激光的发明和光子学的发展提供了重要的物理基础。麦克斯韦方程组不仅预测了光速，还满足狭义相对论的洛伦兹变换。正是因为麦克斯韦的贡献才使得爱因斯坦受到启发，开始了统一自然界的四种力的工作，即电磁力、弱相互作用力、强相互作用力和重力。

那我们从数学上考虑从积分型方程式（2a-2d）推导出微分式方程组(1a-1d）的基本假设是方程式（2c，2d）中的时间微分和曲面积分可以互换， 即：

可惜的是在几乎所有的教课书中，这个数学运算成立的条件一般都不明确讨论，而式直接给出。然而方程式（3）成立的条件是假设体系中所具有的介质的形状，分布，体积和表面都不随时间变化，即处于静止状态。然而，这种静态介质的假说在电动力学的教课书中都不提，因此我们一般都不知道微分式麦克斯韦方程组成立的条件是什么。因此，在很多领域我们就直接用方程组（2a-2d）来直接建立理论模型。

现在考虑如果介质是运动的，它的分布可以随时间变化而变化，例如飞机的飞行，火车的运行等，方程式（3）就不严格成立了。王中林院士首先意识到这个假设后，为了推出在有介质运动的情况下的麦克斯韦方程组，他从麦克斯韦方程组的积分形式出发，考虑了介质的运动对于方程（3）的修正，推导出拓展型的麦克斯韦方程组：

其中方程式（4c-4d）右手第二项引入了和速度有关的相关校正项。全文发表在《Materials Today》【1】。文中不但给出了标准方程组的推导，同时也把相关物理量的计算方法做了详细的描述，包括如何用微扰论方法，赫兹矢量法，迭代法等在不同条件下求解拓展型麦克斯韦方程组的各种数学工具。

图1对于静态介质的麦克斯韦方程组（左边）与对于运动介质拓展的麦克斯韦方程组（右边）的比较。拓展的麦克斯韦方程组不但包涵了经典麦克斯韦方程组的全部内涵，同时也引入了由于带电介质运动而产生的电磁耦合效应以及纳米发电机的理论构架。在位移电流中添加的Ps项拓展了它们在能源领域的应用。纳米发电机是麦克斯韦方程组继电磁波理论和技术后在能源与传感方面的另一重大应用。在可以预见的未来，这棵汲取拓展的麦克斯韦方程组营养的大树，将愈发茁壮成长，引领技术革新，深刻改变人类社会。

王中林拓展麦克斯韦方程组的最初动机是发展纳米发电机的理论构架。纳米发电机现在被定义为使用位移电流作为驱动力有效地将机械能转换成电能/电信号的一个领域。2006年，他和团队发明了第一台压电纳米发电机（PENG），2012年发明了第一台摩擦纳米发电机（TENG）。到目前为止，纳米发电机的研究已经引起了全世界的广泛关注，源于它们在微纳能源、自驱动传感、蓝色能源和高压电源领域的重要应用。

2017年，王院士首次拓展了位移电流的表达式 【2】，首次在电位移矢量中引入P_s项，用于推导纳米发电机的输出功率，P_s是由机械触发产生的表面静电荷引起的极化密度，不同于电场引起的介质极化P。无论是否有外加电场，这种表面静电荷均能在压电极化和摩擦起电中产生。2019年王中林解析推导出了纳米发电机的输运方程，Ps项的解析表达式，负载下的输出功率和空间电磁场分布及其辐射的通式，并把摩擦纳米发电机的四种模式给出了解析解，奠定了纳米发电机的整体理论构架，形成了本学科发展的理论基础【3】。

图2：狭义相对论与运动介质的拓展型麦克斯韦方程组的区别。

那对于运动介质的拓展型麦克斯韦方程组和狭义相对论的区别是什么呢？狭义相对论是描述在A参考系中发生的一个电磁现象被在处于A参考系和运动中的B参考系中的两个不同人同时观察所带来的不同观察结果，即一个电磁现象两个观察者。而拓展型麦克斯韦方程组描述的是发生在A参考系和运动中的B参考系中的两个不同且可能有关联的电磁现象被处于A参考系中的同一个人观察所的到的结果，即两个有关联的电磁现象一个观察者 【1】。

拓展的麦克斯韦方程组具有广泛的意义，对于描述运动中的高铁，飞行的物体，例如飞机，导弹，空间星球等的电磁波的产生，发射，反射和散射等有一定的应用。它不但包括了最常见的多普勒效应，同时也包括带动运动物体对于电磁波振幅和相位的修正，期待在未来的通讯方面有所应用。

原文链接

【1】Z.L. Wang “ On the expanded Maxwell’s equations for moving charged media system – general theory, mathematical solutions and applications in TENG”， Materials Today; https://doi.org/10.1016/j.mattod.2021.10.027 

【2】Z.L. Wang “On Maxwell’s displacement current for energy and sensors: the origin of nanogenerators”, Materials Today, 20 (2017) 74-82.

【3】Z.L. Wang, “On the first principle theory of nanaogenerators from Maxwell’s equations“, Nano Energy, 68 (2020) 104272; https://doi.org/10.1016/j.nanoen.2019.104272

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