【高考研究】高考中函数双变量问题的解题方法梳理

一、导数及其应用多选新题型汇编

函数的双变量问题是近几年来高考试卷中“热门”试题之一，这类试题不仅形式多样，而且联系的知识面较广，构造思维要求较高，因此这类问题的解决方法也是多种多样的。在处理导数的综合题时，我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题，由于两个变量都在变，学生往往不知把哪个变量当成自变量进行研究，导致无法展开思路，造成无从下手，下面我们谈一谈这类问题的解题思路.

01

变更主元

对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个 变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法. 

02

指定主变量

有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题 得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想. 

03

化归为值域问题或最值问题 

04

化归为函数单调性思想

05

整体代换，变量归一

06

借助参照物，建构桥梁

07

构造函数法

关于同一函数中的两个变量的问题，又可以分成两类题型，一是求参数取值范围类问题，二是没有参数的双变量证明问题，这两类题型在解法上不同，但是思想上均为构造函数的范畴。

题目解读：注意分子正负未定，因此做题之前要人为设定出两变量的大小，变成多项式之后就能看出需要构造的函数。

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用函数的单调性来解，但是本题不是证明题，单调性转化为恒成立求参数范围即可。

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同类型题目如下：

总结：无论是证明题还是求参数范围问题，解题思路均相同，设定两个未知量的大小关系，然后构造出所需要的函数，进而使用单调性来判断不等式成立或将单调性转化为参数恒成立问题。

类型一：可以找到两个未知量的关系，从而转化为一个变量。

可以转化的典型例题，将不等式的证明转化为求函数最值的问题，注意题目中两个变量之间和参数a关系式怎么找的。

类型二：可将两变量的和，差，积，商作为一个整体设为新变量的。

不妨先从式子入手，逐步化简即可明朗。

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类型三：将双变量指定主变量

双变量指定主变量即把其中一个设为自变量，另外一个看成常数，然后构造新函数就可以将双变量函数转化为一元函数。

题目解读：至于把谁看做自变量都可，题目转化为恒成立问题，即新函数的最小值大于零即可，这里需要注意将其中一个变量设为自变量，另外一个设为常数之后需要注意新的自变量的取值范围。

08

双变量任意性和存在性

题型一：等式型双变量问题

等式关系可以看成是值域问题，题目可转化为在区间A中，f(x)的值域永远都是在区间B中，g(x)值域的子集，即f(x)的范围要小于等于g(x)的范围，例：

题目解读：上式是等式关系，且双变量不在同一函数中，因此可分别设立两个函数分别求值域，然后根据值域的大小关系得出参数的取值范围。

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根据值域，题目可以转化为f(x)和g(x)的值域的交集不为空集即可，例：

题目解读：分别求两函数的值域，f(x)，g(x)值域均易得，然后再根据值域之间交集不为空集即可，但是这里最好先转化为对立面，最后求得的参数取补集即可。

题型二：不等式型双变量问题

理解较为简单，题目能转化为f(x)最大值＜g(x)最小值，然后分别求最值即可，例

一般出现在文科试卷中，注意步骤的完整，特别是求最值的过程必须完整。

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题目能转化为f(x)最小值＜g(x)最大值，再分别求最值即可

此类问题转化为f(x)的最大值<g(x)的最小值，可以理解为f(x)<a恒成立，且存在x使得a<g(x)成立，这样就会避免求最错最值，例

题目能拆解成两部分任意和存在的问题，双向的任意性和存在性不要写错了，另外注意题目中f(x)最值的求法需要讨论最小值。

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总结：这种双变量问题关键步骤在于求函数的最值，得分点在于完整写出最值的步骤，另外当任意性和存在性都有的时候注意可以采用中间量的形式，最值不要求反。

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【来源】尖子数学。转自：数学第六感。

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