【老杨讲压轴】第04讲面积相等且斜线段最短（2017·苏州）

Original 杨老师河大附中老杨和数学的故事 2022-07-17

老杨有话说

对于初三生而言，往年的中考试卷、模拟卷都具有很高的参考价值。而数学又是重中之重，做数学试卷，经常会遇到几个较难的题目，通常是选择第9第10题，填空14、15题和大题22题（类比探究）、23题（抛物线综合题）。此类问题有一个响亮的名号——“压轴题”。通常会综合许多知识点进行考察。学生独立解决有时难度较大，因此，老杨决定用几讲的时间为大家精选部分模拟卷上的压轴题——“老杨讲压轴”系列，有时间的话就录制微课上传到这里，供大家学习。

老杨讲压轴第04讲

抛物线压轴题

面积相等且斜线段最短2018.4.8 [难度：☆☆☆]

（2017•苏州）如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

解法提示

考点：

二次函数综合题

分析：

（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；
（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；
（3）设点P坐标为（t，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用t可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理或两点间距离公式（公式如下）可得到NQ²是关于t的二次函数，利用二次函数的性质可知，其取得最小值时t的值，则可求得Q点的坐标.

两点间的距离公式

附：

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