【七年级下】数学 · 余角、补角、对顶角，知识点大网罗
写在前面
微课中讲解了邻补角、对顶角的概念和性质，本讲我们继续来研究角，重点对余角，补角，对顶角作一个深入的复习归纳，这两节的内容难度不大，主要在于解答题的书写和一些概念的判断．
一、知识梳理
1、余角概念：
如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，简称互余．
2、补角概念：
如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补．
3、注意点：
互为余角、互为补角仅仅表明了两个角的数量关系，并没有限制角的位置关系．
4、邻补角概念：
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角．
5、同一个角的补角与余角的关系：
同一个角的补角比它的余角大 90°．
6、余角补角的性质：
同角的余角相等，同角的补角相等．
等角的余角相等，等角的补角相等．
7、对顶角概念：
一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．(对顶角由两条相交直线产生)
8、对顶角相等．
9、数对顶角的对数：
二、典型例题
例1：判断正误：
(1)一个角一定小于它的余角，也小于它的补角．
(2)如果两个角互补，那么这两个角是锐角和钝角．
(3)如果三个角的和为180°，则这三个角互补．
(4)如果两个角相等，那么她们的补角也相等．
(5)若∠1＝∠2，则∠1和∠2是对顶角．
(6)互补的角就是平角．
(7)互余的两个角一定都是锐角．
(8)不相等的两个角不是对顶角．
解析：
(1)错误，如60°大于它的余角30°，100°大于它的补角80°．
(2)错误，两个角可以都为直角．
(3)错误，互补是两个角之间的数量关系．
(4)正确．
(5)错误，比如一个角的角平分线，把这个角分成2个相等的小角不是对顶角．
(6)错误，两个互补的角的度数之和是平角的度数．
(7)正确．
(8)正确．
例2
解析：
例3：
一个角的余角比它的补角的一半还少20°，这个角的度数为______°．
分析：
这种题目难度不大，可以直接解设这个角的度数为x，表示出这个角的余角和补角，根据题目，列出方程．
当然本题还有一种做法，即设这个角的补角度数为x，表示出这个角的余角，同时，还要利用一个隐含的数量关系，同一个角的补角比它的余角大 90°．
解答：
三、思维提升
1、找余角补角
例1：
如图，O是直线AB上一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？
分析：
找互余的角，首先要找直角内部的射线将直角分成的2个角，或者可以形象的称为“邻余角”．
其次，再找有没有其他角和“邻余角”中的一个相等，则和另一个也互余．
找互补的角，首先找找有没有邻补角．再找有没有其他角和邻补角中的一个相等．
这里∠DOE相邻的余角有2个，∠EOF，∠DOB，再找找有没有和这两个角相等的角．
∠DOE在图中没有邻补角，因此，只能找和它相等的角，不难发现是∠AOF，找∠AOF的邻补角，再找和∠AOF的邻补角相等的角．
解答：
∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∴∠BOE＝90°
∠3＋∠4＝90°，∠3＋∠2＝90°，
∴∠2＝∠4，
∵OB平分∠COD，
∴∠4＝∠5，∠2＝∠5，
∴∠DOE互余的是∠2、∠4、∠5；
∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，
∴∠3＝∠1
∵∠1＋∠BOF＝180°，
∠BOF＝∠2＋∠3＋∠4＝∠5＋∠3＋∠4＝∠EOC，
∴与∠DOE互补的角是∠BOF、∠EOC．
1、找余角补角
例2：
如下图，AOE是一条直线，从点O引射线OB，OC，OD，若∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°，那么图中互余的角有哪几对？互补的角有哪几对？
分析：
思路与例1一致，先找位置相邻的余角，找邻补角，然后找有没有其他角与其中一个相等的角，对于两个直角，也别忘了它们互补．
解答：
∵∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°
∴∠1＋∠2＝90°
∠2＋∠3＝90°，
∠3＋∠4＝90°，
∠1＋∠4＝90°，
互余的角有4对，
∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠1与∠4，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
∵∠1＋∠DOE＝180°，∴∠3＋∠DOE＝180°，
∠4＋∠AOB＝180°，∴∠2＋∠AOB＝180°，
∠AOC＋∠COE＝180°，
∠AOC＋∠DOB＝180°，
∠DOB＋∠COE＝180°，
互补的角有7对，
∠1与∠DOE，∠3与∠DOE，
∠4与∠AOB，∠2与∠AOB，
∠AOC与∠COE，
∠AOC与∠DOB，
∠DOB与∠COE．
1、找余角补角
例3：
如图，直线 AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
(1)写出∠DOE的补角；
(2)要若∠BOE＝62°，求∠AOD和∠EOF的度数；
(3)求∠DOF的度数？
分析：
(1)要找∠DOE的补角，可以找它的邻补角，也可以找与∠DOE相等的角，再找出它的补角．
(2)要求∠AOD，不一定非要用角度之和，可以用180°减去∠BOD，要求∠EOF，可以求∠AOE，再求其一半．
(3)双角平分线问题，找到出现两次的边OE，则∠DOF看作∠FOE＋∠DOE，利用一半加一半可求．
解答：
2、用方程思想
例1：
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．∠BOF＝30°，则∠AOC＝______°．
分析：
要求∠AOC，其实就是求∠BOD．要求∠BOD，根据角平分线条件，可设∠EOD为x.，然后表示出∠EOF，进而表示出∠COE，则∠COE＋∠EOD＝180°，作为方程的相等关系．
解答：
∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE，
∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠FOE，
∴设∠BOE＝x°，则∠BOD＝2x°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD＝2x°，∠EOF＝∠COF＝(x＋30)°，
则∠COF＋∠EOF＋∠DOE＝2(x＋30)＋30＝180，
解得：x＝40，
故∠AOC＝80°．
2、用方程思想
例2：
如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOD＝∠BOD，且∠DOF与∠BOF的度数之比为3：1，求∠COE的度数．
分析：
要求∠COE，其实就是求∠FOD．而∠DOF与∠BOD的度数比已知，则可以设x，利用它们的差是∠BOD求解，而∠AOD＝∠BOD，它们又是邻补角，则∠BOD的度数很快可知．
解答：
解设∠BOF＝x°，∠DOF＝3x°
∴∠BOD＝∠DOF－∠BOF＝2x°
∵∠AOD＝∠BOD，∠AOD＋∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝90°，
2x＝90，x＝45
∠DOF＝135°．
已
更
新
：
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期中期末测试卷：
思考题
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