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【中考专题】抛物线与倍半角存在性—转化等角,正切求解

做中学学中做 老杨和数学的故事 2022-07-17


老杨有话说

    各位是否记得,2018年的河南中考数学试卷,第23题—抛物线综合题,最后一问考察了个“二倍角的存在性”。请点链接:

【视频讲压轴】2018 · 河南中考数学 · 23题

那么,关于二倍角的存在性,更甚,三倍角、半角等的存在性,应当如何去解决呢?是否有一种大致通用的方法呢?

    其实,关于倍角存在性,在2017年江苏盐城市中考数学试卷中也有考察。笔者在去年也已更新以下两篇文章:

【老杨讲压轴】第04讲 抛物线—线段倍数、2倍角存在性

  押中原题了!附中名师解读18河南中考数学

    倍角存在性,其实是先构造出2倍角或3倍角,然后求其正切值,借助正切值相等,保证等角存在性。

    而3倍角的构造,可以借助阿基米德三等分角的思路进行:

若∠AOB=α,则∠ACB=3α。具体做法是:在∠AOB的边OB上任取一点P,以P为圆心OP长为半径画弧交OA于C,再以C为圆心,OP(或PC)的长为半径画弧,交OB于点Q。则∠ACQ即为3倍角。依此,可构造出n倍角(不大于90°)。

    半角构造,只需作该角的平分线即可。

    下面本文由浅入深地为大家介绍倍半角存在性问题。

注:以下本文授权转自微信公众号:做中学学中做。

【一倍等角】

2018-2019(上)大东区期末压轴题

【提示(2)这一问需要分别表示出点D、E的坐标,然后取出DE的长度,用含x的代数式表达;


(3)需要分情况讨论,

第一种情况:当∠ BMO=∠ BDF时:

方法一:设点D的横坐标为x,根据(2)的启发可得在等腰直角△DEF和△AEG中,分别用含x的代数式表示出线段AE和线段DF、EF,然后根据tan的值,列方程求解。

方法二:借助“一线三直角”

第二种情况与第一种情况用法相同。

解法一:

解法二:

【二倍角】

下面这道练习题,改编自2017·盐城中考数学试题。基本只是象限的变化而已。

【拓展练习】

本文只对(3)作详细解析,

(3)应分情况讨论:

第一种情况:当∠DCM=2∠ABC时,

方法一:过点C作x轴的平行线,根据“两直线平行,内错角相等”,

可知,∠DCE=∠MCE=α;

通过证明:△BOC和△CED相似,表示出点D的坐标,代入抛物线解析式中求参量的值;进而求出点D的坐标;

方法二:构造等腰△CB'B,借助外角;

通过求解直线B'C的解析式,与抛物线解析式联立方程组求点D坐标;

【交流拓展】

借助平行线推广出另外几种作法如下:

直线OF与直线BC'均与直线CD平行;

详细解析如下:

方法三:在方法二的启发下,作点C的对称点C',构造等角为2α的等腰三角形(亦可理解为直线CD与直线BC'平行,得内错角相等);

方法四:在方法二的启发下,借助直角三角形斜边中线长度等于斜边长度的一半,构造等腰三角形(亦可理解为直线CD与直线OF平行,得内错角相等);

方法五:借助一线三直角,表示点D的坐标,代入抛物线解析式中,求出参数的值;

第二种情况:当∠CDM=2∠ABC时,其余方法可参考上述,在此仅提供一种。

【变式练习】

第一种情况:已知tan2α的值,可求tanα的值;

第二种情况:借助“一线三直角”

【三倍角】

【2016年铁西区一模第25题】

本文只对(3)作详细解析,

方法一:

方法二:

倍角大练兵

接下来以沈阳市2013年中考数学试卷压轴题为参考练习(略改):

【原题再现】

【解析(2)】

【解析(3)】

第一问:二倍角

第一种情况:当点M在点B的左侧时,

通过构造等腰三角形,来理解二倍角

此时点M恰好落在y轴上,

第二种情况:当点M在点B的右侧时,

【解析(3)】

第二问:三倍角

第一种情况解析:

第二种情况解析:

方法一:

方法二:

如果还有更好的方法,欢迎私信小编,共同学习。

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