【中考专题】费马点模型——解决到3个点距离最短问题的利器！

关于最值问题：

费马点的做法，与“鸡爪”模型有相似之处：

关于费马：

说明：

皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。费马，是当今常见译法，也翻译作费尔马。80年代的书籍文章也多见译为“费尔玛”的情况，但“费玛”则少见。

费尔马点：

如果存在一个点到三角形三个顶点的距离之和为最小,则这个点称为费尔马点。

解读：

如图，点E就是△ABC的费尔马点：

证明：

情况一：当△ABC最大内角小于120°时

    以C点为旋转中心，将△CDB 逆时针旋转60度到△CEF位置。易知DB=EF，DC=CE=DE,DA+DB+DC=DA+DE+EF，显然当A、D、E、F四点共线时，距离之和最短。当A、D、E共线时，∠CDA=120°，当D、E、F共线时，∠FEC=∠BDC=120°，所以D点应该对三个顶点的张角都为120°，这就是费尔马点的位置。

情况二：当△ABC有一内角不小于120°时：

很显然此时点C就是费马点，由此可知如果三角形有一个内角大于等于120°时，费马点就是该内角顶点。

综上所得：我们知道,当△ABC最大内角小于120°时,F在△ABC内部,且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;当△ABC有一内角不小于120°时,F点与最大角的顶点重合。

特别地，如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则有结论：

（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，

（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

证明：∵AF=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE，∴△AFC≌ABE. ∴CF=BE

同理可证△BCF≌△BDA，CF=AD.  ∴AD=BE=CF.

∵△AFC≌ABE ,∴∠AFC=∠ABE,∴∠BPF=∠BAF=60°，∠BPC=120°

同理可证∠APB=∠APC=120°, ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°.

应用：

例1.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，求AP+BP+PD的最小值．

思考：若正方形ABCD内有一动点E，到点A、B、C三点的距离之和最小值为p，则此正方形的边长为________________.（含p的式子表示）.

变式2.如图，已知四个城市A、B、C、D的位置为正方形的四个顶点，现要建设高速公路连结A、B、C、D四个城市，请你设计出最短的高速公路的线路图。

（注：不计连接点的个数，使得总路程和最小.）

拓展阅读：

材料一     “最小势能原理”确定费马点

在物理有一个这样的“最小势能原理”（也称为狄利克雷原理 Principle of Dirichlet）：“一个物体或系统当处于平衡位置时，它的势能是最小。如果一个物体或系统当所处的位置，使它的势能是最小，那么这点就是它的平衡位置。”因此我们可以利用这原理协助解决费马难题。

首先用铁线作和原三角形同大小的三角形，在每个顶点放上一个滑轮。每个滑轮穿过一个重量为 m 的重物。假定吊物体另外一端的线都绑在一起，这结点称为 P。现在让重物重挂下来，这结点最初会移动，可是过一会儿它就不动了，这时正是整个系统处于平衡状态。这时你看那结点的所在位置就是所要找的“费马点”。为什么会如此呢？假定三角形与地面的距离是 h 。滑轮 A ， B ， C 挂的重物与地面距离分别为 a ， b ， c 。绑重物的所有绳子长是 t 。现在令整个系统的重心是 G ，并且距离地面是 r。则系统的势能是 m · a+m · b+m · c= （ 3m ）· rr=(a+b+c)/3在平衡位置时，重心最靠近地面，因为这样它的势能才是最小，因此此时 a+b+c 也是最小。吊在滑轮下的绳子共长（ h-a ） + （ h-b ） + （ h-c ）即 3h- （ a+b+c ）。因此在△ ABC 里的平面绳子的长是等于： s=t-[3h- （ a+b+c ） ]= （ t-3h ） + （ a+b+c ）。t-3h 是一个固定数， s 的长最小当且仅当 a+b+c是最 小。因此只有在系统平衡时，结点的位置必须是“费马点，才能使到 a+b+c 为最小。你看我们用物理方法轻而易举的找到“费马点”。

现在在铁三角形里的结点 P受到三个相等的拉力拉。从物理学我们知道：“平面三力成平衡，那么三力线或者平行，或者交于一点。”因此如果我们用 f 表示这三个方向量，这三个向量是形成一个正三角形，而且其向量和要等于零。由此可知这些绳在“费马点”时所张开的角度是 120 °。

材料二  最小光程原理即椭圆光学性质确定费马点

我们可以借助椭圆的光学性质来理解一下，即椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点，也即等价于椭圆上任意点的切线与两焦半径所夹的角相等。 如图

上面我们说到三角形中的费马点到三顶点距离之和最小，再结合最小光程原理即椭圆光学性质，我们便会意识到椭圆上的P点会不会是三角形ABC内的费马点呢？

 如下图   以B和C为焦点，BP+PC为长轴作椭圆，以点A为圆心，AP为半径做圆，可证明它们相切于点P，公切线为l,根据椭圆光学性质，AP必平分∠BPC,可得∠APB=∠APC,同理也可证的∠APC=∠BPC，可得点P与费马点吻合。

* 以上内容授权转自公众号攀峰随笔，由老杨和数学的故事（YoungMath）整理编辑。特此声明。

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