几何画板解析2017年天津中考倒二（几何背景）

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几何画板解析2017年天津中考倒二（几何背景）

Original 2017-07-20 永泰一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

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2017年天津中考倒二（几何背景）

（2017·天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(根号3,0)，点B(0,1)，点O(0，0).P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'.

（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；

（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；

（3）当∠BPA'＝30°时，求点P的坐标(直接写出结果即可).

图文解析：

题干分析：由点A(根号3,0)，点B(0,1)得OA＝根号3，OB＝1，再由折叠△AOP得到△A’OP可得到：O A'＝OA＝根号3. 如下图示.

进一步，在Rt△AOB中，由tan∠ABO＝根号3，得到∠ABO＝60°，还可得到：∠BA）＝30°，AB＝1等.

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（1）当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，如下图示：

在Rt△OBA’中，由勾股定理得BA’=根号2.所以A’的坐标为（根号2，1）.

（2）当P为AB中点时，如下图示：

显然，在Rt△AOB中，有OP＝PQ＝PB＝0.5AB＝1＝OB，得到相关结论，如下图示：

（能直接得出的结论远不止图上标出的）

如下图示：不难证得四边形OPA’B是菱形，所以A'B＝OP＝1.

本小题解法多种，下面再提供一种直接进行计算的方法，如下图示：

（3）当∠BPA'＝30°时，分两种情况考虑：

当A’在边AB的右上侧时，如下图示，设OA’与AB相交于C.

不难求得∠ACO＝60°,而∠ABO＝60°，因此可以确定点C与点B重合，从而点A’落在y轴上.如下图示：

添加如下图所示的辅助线，显然有OA’=OA=根号3，且∠OA’P=30°，同时又有：(如下图示)

第二种情况：(∠BPA'＝30°)当A’在边AB的左下侧时，如下图示，

不难得到四边形OAPA’是菱形，从而PA=OA=根号3.下面求此时P点的坐标：

添加如下图如示的辅助线：

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