《圆》中难题专项训练（4）——中考备考系列[尖子生之路]

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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《圆》中难题专项训练（4）

（2018·宜宾）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD,CE⊥AD于点E.

(1)求证：直线EC为圆O的切线;

(2)设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值.

【图文解析】

（1）由于C点明确，只需连接OC，证OC⊥EC即可，由CB＝CD和OA＝OB，根据三角形的中位线定理，可得OC∥AD，又因CE⊥AD于点E，不难证明OC⊥EC.如下图示：

(2)根据已知条件和“同弧所对的圆周角相等”不难得到：

所以△PCF∽△PAC，得到：PC：PF＝PA：PC，得5：4＝PA：5，解得PA=25/4，得到AF＝PA－PF＝9/4.

再结合图中条件，不难得到最常见也最重要的基本图形.如下图示：

上图中，不难证得∠PEF＝∠PAE，则由tan∠PEF＝PF/EF＝tan∠PAE＝EF/AF得EF²＝PF×AF＝…＝9，得EF＝3.同时根据勾股定理，可求得PE＝5，因此sin∠PEF＝PF/PE＝4/5.

【反思】熟记基本图（直角三角形斜边上的高——子母直角三角形）在解题中作用和一般的解题思路（三角函数的定义或相似均可）.

（2017•深圳倒二）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH=2，CH=4．

（1）求⊙O的半径r的长度；

（2）求sin∠CMD；

（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．

【图文解析】

（1）简析：

方法一：如下图示，

在Rt△COH中，由勾股定理，得：

r²=4²+（r﹣2）²，解得r=5．

方法二：如下图示，

不难得到∠A＝∠1。分别在Rt△ACH和Rt△BCH中，由tan∠A＝CH/AH＝CH/BH＝tan∠1得：4：2＝（2r－2）：4，解得r=5.

方法三：如下图示，

通过△ACH∽DBH，得到AH：DH＝CH：BH，即2/4＝4/（2r－2）…….

（2）如下图示，点M在运动过程中，∠CMD的度数始终保持不变。

由于∠CMD无法确定具体的度数，　因此要求sin∠CMD的值，必须建立一个含“与∠CMD相等”的角的直角三角形，然后通过三角函数的定义求出。

法一：根据圆周角定理和相关结论，可添加如下图所法的辅助线，得到直角.

不难证明sin∠CMD＝sin∠CPD.同时在Rt△CPD中，sin∠CPD＝CD/PD，如下图示：

所以sin∠CMD=sin∠COA=4/5.

法二：根据圆周角定理，可以将∠CMD转化为圆心角，如下图示：

由CD⊥AB，AB为直径，根据垂径定理和等腰三角形的性质，不难得到∠CMD=0.5∠COD=∠AOC.所以sin∠CMD=sin∠COA=CH/OC=4/5.如下图示：

（3）如下图示，

本题图形繁杂，务必分清哪些是我们所需要的线，同时我们要求的是“HE•HF的值”是一个乘积式，这种形式的值的求法往往通过“相似”或“面积”或“函数”等转化，显然本题后两种解决起来困难重重，因此通过“相似”转化为“比例式”，如下图示：

不难证明△MHE∽△FHN，得到HE/HN=HM/HF，根据比例性质，可得到HE•HF=HM•HN(这时已经转化到圆中的相关线段的乘积形式).

类似地，继续将HM•HN转化其他乘积式(往已知方向转化)，如下图示，

不难证明△AMH∽△NBH，得到HE/HN=HM/HF，根据比例性质，可得到AH•BH=HM•HN.

综上所述，可得：HE•HF=AH•BH=2×8=16.

【反思】常用“相似”将“乘积式”转化为“比例式”的数学思想是解决相似相关问题的重要方法，解题时，可尽量将未知量(或所求的量)往已知图形或已知量方向进行转化．

（试题）如图，已知☉O的半径长为1，AB、AC是☉O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC.

（1）求证：△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S₁、S₂、S₃，如果S₂是S₁和S₃的比例中项，求OD的长.

图文解析：

（1）法一：如下左图示，由OB＝OA＝OC得：∠1＝∠3＝0.5(180°－∠AOB)，∠2＝∠4＝0.5(180°－∠AOC)；又AB＝AC得∠AOB＝∠AOC，所以∠2＝∠3，又∠AOD＝∠AOD，从而△OAD∽△ABD.

法二　如上右图，作直径AE.由AB＝AC得弧AB＝弧AC，根据“圆的对称性”知弧BE＝弧CE，得∠1＝∠2，又OA＝OB得∠1＝∠3，所以∠2＝∠3，下同…….

（2）分两种情况：

当∠CDO＝90°，如下图示，不难得到△ABC为等边三角形.

当∠COD＝90°，如下图示，不难得到△BOC为等腰直角三角形……，

因OA＝OC，∠OCD＝∠OAC，由三角形定理知，2∠OCD＝∠OCD+∠OAC＜180°，从而∠OCD不可能为90°.

综上所述，所求的BC的长为根号3或根号2.

（3）（注：新人教版课本中没有“比例中项”和“黄金分割”等概念及相关知识属于阅读内容）

因此，点D为线段AC的黄金分割点，得到，

反思：本题中的第3小题，将三角形中的面积相关（等高）的常见结论、黄金三角形（有关性质与结论）、与比例相关知识完美地融合在一起，在圆的背景下，图形不但简洁美观，而且隐藏动感（动态）之美、计算之美，同时又可以无限扩展，可以将更多的圆的相关知识融入其中。

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（试题）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)设OP=1.5AC，求∠CPO的正弦值；

(3)设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围.

图文解析：

(1)显然图中的点C是明确的(在圆O上)，要证PC是⊙O的切线，只需连接OC，证OC⊥PC即可，如下图示：

(本题解法多种，下面仅提供两种)

方法一：如下图示，

由“PB是⊙O的切线”得∠OBP=90°，再通过∠OCP=∠OBP=90°可证.

方法二：如下图示，

由“PB是⊙O的切线”得∠OBP=90°，再通过△POC≌△POB，得到∠OCP=∠OBP=90°.可证.

(2) 由OP=1.5AC，可设AC=2t，则OP=3t.可添加如下图所示的辅助线：

显然图中有一个最基本且重要的基本图形(“母子三角形”)，显然有∠1=∠2.

(3) )当AC=9，AB=15时，画出相应的几何图形(对应的相关距离 d和f)，如下图示：

由图中的彩色部分基本图(“8”形)，结合与“直角和圆”相关联，不难得到：可添加如下图的辅助线。

易证得四边形AEDF是矩形(三个角是直角)，所以AE=DF，从而d+f=BF，因此求d+f的取值范围，就是求BF的取值范围。

由于此时C点是固定(因AC=9)的，而M为直径AB上的动点，对应的CM就是动直线，当动直线变化时，对应的点F的变化范围如下图示：

其中BF的最大值和最小值的所在点是：

此时BF=AC=9

此时BF=AB=15

(另：在如下图的位置时，

此时BF=BD=12).

所以9≤d+f≤15.

(试题)如图，AB是⊙O的直径，AB=4×根号3，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求证：CB是∠ECP的平分线；

（2）求证：CF=CE；

（3）当CF:CP=3:4时，求劣弧BC的长度（结果保留π）

【图文解析】

（1）如下图示，阴影部分为最常见的图形（直角三角形斜边上的高）.

不难得到：∠1＝∠2＝∠3.

还存在第二个这样的图形，下图示：

也不难得到：∠4＝∠3.

所以∠2＝∠4，即CB是∠ECP的平分线.

（本题方法多种，解法类似，这里略去）

（2）如下图示，

不难证得，∠1＝∠6，又CE⊥AB，CF⊥AF，根据“角平分线的性质”可得CF＝CE.

（3）结合已知条件“CF:CP=3:4”及与之相关的“CB是∠ECP的平分线”，不难想到可利用“角平分线的性质”找出突破口，如下图示.

【反思】本题含两最基本且重要的图形，图中可找到很多对（超过10对）三角形相似，由此得到的相关比例式非常多。将本题的已知条件“直径AB＝4×根号3”与“CF:CP=3:4”任意改为其他两个条件（至少一个是“边”的条件），则图中所有的相关元素和结论均可求；同时本图形又具有“旋转相似”的图形构成，因此本题是一道非常典型的可“变式和拓展”的好图和好题。

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