等腰三角形与动态问题（1）——中考备考系列[尖子生之路]
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等腰三角形与动态问题（1）
（试题1）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．
（1）求证：四边形EDFG是正方形；
（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
【图文解析】
（1）简析：由已知条件（O为EF的中点，GO=OD ）可得到四边形EDFG是平行四边形。如下图示：
下面进一步证明四边形EDFG中有一邻边相等和一个内角为直角。
由于D是等腰直角△ABC斜边上的中点，因此通常连接CD，即可得到相关重要结论，如下图示：
不难证得∴△ADE≌△CDF（SAS），所以DE=DF，∠ADE=∠CDF．
因∠ADE+∠EDC=90°，进一步又得到
∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.
结合上述所得到的结论知，四边形EDFG是正方形．
（2）由（1）证明知：四边形EDFG是正方形，所以S四边形EDFG＝DE2，因此当DE最短时，四边形EDFG的面积最小.如下图示：
因E是边AC上的动点，根据“垂线段最短”可知，当DE⊥AC于E时，DE最小，如下图示：
此时，四边形的顶点G与C点重合，不难证得E是AC的中点，同时DE＝1/2AC＝2.如下图示：
所以正方形的面积为22＝4.
综上所述，当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．
【拓展】将本题的条件“E，F分别是AC，BC上的点”改为“E，F分别是直线AC，直线BC上的点”，相关结论仍然成立，如下图示：
或：
（试题2）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值.
图文解析：
（1）如下图，不难证得BD＝CE，再利用三角形的中位线定理，得到PM＝0.5CE，PM∥AC，PN＝0.5BD，PN∥AB，进一步得到：PM＝PN.
由“PM∥AC，PN∥AB”又可以得到∠1＝∠2,∠3＝∠ADC,所以∠1+∠3＝∠2＋∠ADC＝180°-∠A=90°,得∠MPN=90°，即PM⊥PN.(证法多种，均属于较易)
(2) 首先，先证：BD=CE，∠BGC=90°.
两共顶点两等腰直角三角形 (基本图形)旋转，通过全等不难得到：BD=CE，∠ACE=∠ABD.(下面给出两图进行说明)
或：
下面证明：∠BGC=90°(以上述的第一个图证明，其他类似可证.)
其次，根据三角形的中位线定理，可得到：
PM＝0.5CE，PM∥CE，PN＝0.5BD，PN∥AB，进一步得到：PM＝PN.
同时，
进一步，得到∠5+∠7=∠6+∠DCE，即∠MPN=∠6+∠DCE=180°-∠BGC= 90°，得到PM⊥PN.(本题得证)
(3) 由第(2)问知：△PMN为等腰直角三角形，且PN=0.5BD，所以△PMN的面积=0.5×PN2=0.5×(0.5BD)2=0.125×BD2.
因此，要求△PMN面积的最大值，需求BD的最大值，由于D点在以A为圆心，4为半径的圆上，如下图示：
显然当B、A、D在同一直线上时，BD最大，最大为BA+AD=10+4=14.
所以所求的△PMN的最大面积为0.125×BD2=0.125×142=24.5.
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(试题3)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
【图文解析】
（1）简析：如下图示，
由AB＝AC和AP＝AQ可得BP＝CQ，通过SAS，不难得到证明.
（2）如下图示，
图中有典型的“一线三等角”基本图如下：
通过“三角形的外角等于不相邻的两个内角和”不难证明∠1＝∠2，∠3＝∠4.因此△BPE∽△CEQ.
由△BPE∽△CEQ可得了BP：CE＝BE：CQ，再将BP=2，CQ=9，BE=CE代入，得BE2=18，解得BE=CE=3×根号2，所以BC=6×根号2．
【变式拓展】
改变图形位置，两三角形相似的结论仍然成立，同时保持BP×CQ＝BE2＝CE2＝1/4BC2.如下图示：
（试题4）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α= °,β= °；
②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
图文解析：
（1）①答案为：20，10；
（解法与②相同）
②法一：如下图示：
在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，所以α=2β；
或：180°－2x=α+(180°－2y)，整理得：α＝2（y －x）=2β；
法二：如下图示：
由等腰三角形的性质，不难得到：
β＝∠CAM－∠1；α＝∠BAC－∠DAE＝2∠CAM－2∠1＝2（∠CAM－∠1）=2β；
反思：若D点在直线BC上时，这种情况仍然成立.解法完全一样.
（2）如下几种情况：
第一问的两种证法，均适用.
方法一：（用方程思想）
（仅以第一种情况证明，其他类似）.
设∠ABC=x，∠ADE=y，
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，x+α=β﹣y，
在△DEC中，x+y+β=180°，
∴α=2β﹣180°，
方法二：提示：
∠MAN＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣0.5（∠DAE+∠BAC）
＝180°﹣0.5（180°+α）
＝90°﹣0.5α
β＝180°－∠MAN＝90°-0.5α
即α=180°﹣2β
其他情况，如下图，不做详细分析.
反思：正确画出符合题意的图形，是解决本题的关键．
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